Симметрические функции. — Функция от n переменных х1, x2,…, хn наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x12x2 + x12x3 + х22x1 + x22x3 + x32x1+ x32x2 есть С. функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х1, x2 и x3. Эта функция вполне определяется одним членом х12x2 и потому для краткости обозначается через Σx12x2. Подобным же образом С. функции от x1, x2, x3 и х4
Σx12x22 = x12x22 + x12x32 + x12x42 + x22x32 + x22x42 + x32x42.
С. функции называются элементарными, если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные С. функции суть
Σx1 = с1, Σx1x2 = c2, Σx1x2x3 = c3,…, х1x2…xn = сn.
Здесь введены буквы c1, c2,…, сn для обозначения этих функций.
Если x1, x2,…, xn корни уравнения f(x) = xn + p1xn—1 + p2xn—2 +… + pn—1x + Pn = 0, то
c1 = —p1, c2 = p2, c3 = —p3,…, cn =(—1)npn.
Всякая целая С. функция от x1, x2,…, хn есть целая функция от с1, c2,…, сn.
Вычислить С. функцию значит выразить ее через элементарные С. функции. Для вычисления С. функции. Sm = Σx1m служат следующие формулы Ньютона
s1 — с1 = 0
s2 — c1s1 + 2с2 =0
s3 — c1s2 + c2s1 — 3c3 = 0
sn — с1sn—1 + c2sn—2 —… + (—1)nncn = 0
sn+k — c1sn+k—1 + c2sn+k—2 —… . + (—1)ncnsk = 0.
Для вычисления С. функции более сложного вида могут служить формулы
Σx1αx2α = 1/2[(sα)2 — s2α]
Σx1αx2β = sαsβ — sα+β, α не = β
Σx1αx2αx3α = 1/6[sα3 — 3s2αsα + 2s3α]
Σx1αx2αx3β = 1/2(sα2sβ — s2αsβ — 2sα+βsα + 2s2α+β
Σx1βx2βx3γ = sαsβsγ — sα+βsγ — sα+γsβ — sβ+γsα + 2sα+β+γ.
Здесь числа α, β и γ различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления С. функций. При помощи С. функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.