ЭСБЕ/Радикал, в математике

Радикал
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Рабочая книжка — Резолюция. Источник: т. XXVI (1899): Рабочая книжка — Резолюция, с. 75 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Радикал. — Один из корней двучленного уравнения $x^{n}=a$ называется радикалом и обозначается ${\sqrt[{n}]{a}}$. Здесь а называется подкоренным числом, n — показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$, ${\sqrt[{n}]{a}}:{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a:b}}$, $\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$, ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}$, ${\sqrt[{np}]{a^{mp}}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$.

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

$a=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

${\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)$,

‎где k = 0, 1, 2, …, n—1. В правой части ${\sqrt[{n}]{r}}$ положительное число, n-ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова «Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами» (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение $x^{5}-x-v=0$ не решается в Р., если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении «Disquisitiones arithmeticae» (в «Gauss Werke», т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.

Д. Селиванов.