ЭСБЕ/Положительные и отрицательные числа (величины)

Положительные и отрицательные числа (величины)
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Повелительное наклонение — Полярные координаты. Источник: т. XXIV (1898): Повелительное наклонение — Полярные координаты, с. 357—358 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Положительные и отрицательные числа (величины). — Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 — 5 + 2 = 10 +2 — 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились число вместе со знаком считать за одно целое и назыв. число со знаком (+) — П., а число со знаком (—) — отрицательным. В нашем примере +2 П. число, а —5 отрицательное число. Многочлен рассматривают как сумму его членов, и след., 10 — 5 + 2 = (+10) + (—5) + (+2). Вообще $a+(+b)=a+b$, $a+(-b)=a-b$. Знак + перед первым членом обыкновенно подразумевается. В курсах начальной алгебры устанавливаются действия над П. и отрицательными числами, и потому ограничимся здесь немногими словами. При помощи отрицательных чисел вычитание всегда выполнимо, напр. 3 — 8 = —5, так как 8 + (—5) = 3; алгебраические преобразования приобретают общность, напр. формула $a-b+c=a-(b-c)$ справедлива при

$b>c$ и при $b<c$.

Предположим, что по известным данным требуется определить: доход от какого-нибудь предприятия, расстояние искомой точки на прямой от данной точки, через сколько лет наступит ожидаемое событие и т. п. При решении такой задачи может получиться в ответе отрицательное число. Если же изменить задачу и искать величину убытка от предприятия, расстояние по другую сторону от данной точки, число лет, прошедших после некоторого события, и т. п., то в ответе получается в этом случае число П. Поэтому отрицательному решению придают смысл, противоположный решению положительному. Во многих геометрических вопросах ищется соотношение между отрезками прямой и углами. Отрезок прямой выражается числом при помощи некоторого отрезка, принятого за единицу. Число, выражающее угол, есть длина дуги круга, описанной около вершины угла радиусом, равным единице. Обозначив данные отрезки и углы буквами, находят при помощи геометрических соображений искомое соотношение между ними. Полученный результат справедлив для положительных значений букв и для данного расположения чертежа. Если же буквам придавать значения отрицательные, то получится другое соотношение между числами, выражающими отрезки и углы, иначе расположенные. Сказанное поясняется на след. примере. Предположим, что отрезок MN длиною r проектируется на прямую Ml, при чем проектирующая прямая МР образует с Ml угол θ. Если угол между направлениями MN и Ml равен α, то для отрезка МР — проекции MN на Ml — получается формула

$a=r{\frac {\sin \,(\theta -\alpha )}{\sin \,\theta }}$

(1)

Здесь угол α предполагается меньшим угла θ. Представим себе, что отрезок MN вращается и точка N принимает положение N₁, N₂ и N₃, причем

угол $(MN_{1},Ml)=\alpha _{1},...\pi >\alpha _{1}>\theta$;

угол $(MN_{2},Ml)=2\pi -\alpha _{2},\pi >\alpha _{2}>\pi -\theta$;

угол $(MN_{3},Ml)=2\pi -\alpha _{3},\alpha _{3}<\pi -\theta$.

Если ввести обозначения

проекция $MN_{1}$ на $Ml=a_{1}$,

проекция $MN_{2}$ на $Ml=a_{2}$,

проекция $MN_{3}$ на $Ml=a_{3}$,

то получим следующие формулы:

$a_{1}=r{\frac {\sin \,(\alpha _{1}-\theta )}{\sin \,\theta }}$

(2)

$a_{2}=r{\frac {\sin \,(\alpha _{2}-\pi +\theta )}{\sin \,\theta }}$

(3)

$a_{3}=r{\frac {\sin \,(\pi -\alpha _{3}-\theta )}{\sin \,\theta }}$

(4)

Во всех этих формулах входят числа П. Если же ввести отрицательные числа, то достаточно одной из этих формул, напр. форм. (1). Действительно, полагая в формуле (1)

${\begin{aligned}a&=-a_{1},&\alpha &=\alpha _{1},\\a&=-a_{2},&\alpha &=-\alpha _{2},\\a&=a_{3},&\alpha &=-\alpha _{3},\end{aligned}}$

получим формулы (2), (3) и (4).

Множество примеров подобного рода представляется в аналитической геометрии. Там получаются формулы, справедливые для всякого чертежа благодаря тому, что буквам придаются значения П. и отрицательные.

Д. Селиванов.