ЭСБЕ/Переменный ток

Переменный ток
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Патенты на изобретения — Петропавловский. Источник: т. XXIII (1898): Патенты на изобретения — Петропавловский, с. 232—236 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Переменный ток. — Если какой-либо источник тока вызывает в данном проводнике или в данной замкнутой цепи электродвижущую силу и эта электродвижущая сила непрерывно изменяется по величине и по направлению, т. е. представляется периодической функцией времени, то в рассматриваемом проводнике или в рассматриваемой замкнутой цепи появляется электрический ток, сила которого и направление изменяются также непрерывно со временем. Такой ток и носит название П. тока. Возникновение такого тока в проводнике осложняется явлениями индукции. В самом деле, вследствие непрерывного изменения силы П. тока возбуждается в проводнике, в котором происходит этот ток, особая электродвижущая сила, происходящая: 1) от самоиндукции, т. е. от индукции самого данного проводника с П. током, и 2) от индукции на этот проводник других проводников, находящихся вблизи первого проводника, так как в таких проводниках возникают также П. токи от индуктивного действия на них рассматриваемого проводника с П. током. Итак, полная электродвижущая сила, возбуждающая в какой-либо момент времени в данном проводнике электрический ток, представляет собой сумму электродвижущей силы источника тока и всех других электродвижущих сил, возникающих вследствие индукции. Обозначая через Е электродвижущую силу источника тока, причем, по условию, Е выражается какой-либо периодической функцией времени f(t), через L коэффициент самоиндукции данного проводника (см. Самоиндукция), через i силу тока в этом проводнике, через M₁, M₂, … коэффициенты взаимной индукции данного проводника и других соседних с ним проводников, в которых силы токов суть i₁, i₂…, и пользуясь законами индукции токов, мы будем иметь для полной электродвижущей силы в данном проводнике выражение

$E=E-L{\frac {di}{dt}}-M_{1}{\frac {di_{1}}{dt}}-M_{2}{\frac {di_{2}}{dt}}...$

Обозначая сопротивление данного проводника через R, мы получаем по закону Ома для силы тока в этом проводнике выражение

$i={\frac {E-L{\frac {di}{dt}}-M_{1}{\frac {di_{1}}{dt}}-M_{2}{\frac {di_{2}}{dt}}...}{R}}$ . . . (1)

Положим, что вблизи данного проводника не имеется никаких других проводников. В этом случае мы имеем

$i={\frac {E-L{\frac {di}{dt}}}{R}}$ . . . . . (2)

Здесь по условию E = f(t), причем f(t) есть периодическая функция времени. Но по теореме Фурье всякая периодическая функция t может быть представлена в виде следующего ряда:

$f(t)=A+E_{0}\sin \left(2\pi {\frac {t}{T}}-\alpha \right)+E'_{0}\sin \left(4\pi {\frac {t}{T}}-\alpha '\right)+E''_{0}\sin \left(6\pi {\frac {t}{T}}-\alpha ''\right)+...$

т. е. электродвижущая сила Е может быть рассматриваема как сумма постоянной электродвижущей силы А и электродвижущих сил, которые изменяются со временем по закону гармонического колебания (т. е. пропорционально синусам углов, непрерывно изменяющихся со временем) и которых периоды суть T, ½T, ⅓T…, а наибольшие величины суть Е₀, Е′₀, Е″₀ …, причем моменты, когда эти отдельные электродвижущие силы достигают своих наибольших величин или когда они обращаются в 0, различны, т. е. фазы этих электродвижущих сил неодинаковы. При таком характере электродвижущей силы E, действующей в проводнике, ток i, появляющийся в нем, может быть рассматриваем как ток, слагающийся из отдельных токов j, i₀, i′, i″…, которые возбуждаются в этом проводнике вследствие действия отдельных электродвижущих сил:

$A,\ E_{0}\sin \left(2\pi {\frac {t}{T}}-\alpha \right),\ E'_{0}\sin \left(2\pi {\frac {t}{{\frac {1}{2}}T}}-\alpha '\right),\ E''_{0}\sin \left(2\pi {\frac {t}{{\frac {1}{3}}T}}-\alpha ''\right)...$

Наиболее простой и к тому же наиболее часто рассматриваемый в практике случай будет тот, когда электродвижущая сила, действующая в проводнике, выражается через

$E=E_{0}\sin 2\pi {\frac {t}{T}}$ . . . (3)

т. е. эта электродвижущая сила изменяется со временем гармонически. Такую электродвижущую силу представляет электродвижущая сила, которая вследствие индукции появляется в какой-либо катушке, приготовленной из изолированной проволоки и приводимой в однородном магнитном поле в равномерное вращение около оси, лежащей в плоскости какого-либо оборота этой катушки и не совпадающей с направлением силовых линий поля. Такая же электродвижущая сила возбуждается и многими динамо-машинами П. тока. В данном случае мы получаем из выражения для i следующее дифференциальное уравнение:

${\frac {di}{dt}}+{\frac {R}{L}}i={\frac {E_{0}}{L}}\sin 2\pi {\frac {t}{T}}$ . . . (4)

Интегрируя это уравнение и принимая во внимание, что при стационарном характере изменения величины электродвижущей силы и изменение силы тока должно быть также стационарного характера, получаем

$i={\frac {E_{0}\sin \left(2\pi {\frac {t}{T}}-\theta \right)}{\sqrt {R^{2}+{\frac {4\pi ^{2}L^{2}}{T^{2}}}}}}$ . . . . (5),

причем ${\mbox{tg}}\,\theta ={\frac {2\pi L}{TR}}$ . . . . (6)

или, обозначая через n число полных изменений электродвижущей силы в течение одной секунды, т. е. полагая n = t/T, имеем

$i={\frac {E_{0}\sin(2\pi nt-\theta )}{\sqrt {R^{2}+4\pi ^{2}n^{2}L^{2}}}}$ . . . . (5′)

и ${\mbox{tg}}\,\theta ={\frac {2\pi nL}{R}}$ . . . . (6′)

Полученное выражение для силы П. тока показывает, что продолжительность одного полного изменения силы этого тока (период этого тока) одинакова с продолжительностью одного полного изменения вызывающей этот ток электродвижущей силы Е. Но если только проводник, в котором является П. ток, не неиндуктивен, т. е. для этого проводника величина коэффициента самоиндукции L не равна 0, то развитие тока не совпадает по времени с развитием электродвижущей силы. В своем изменении ток запаздывает относительно электродвижущей силы. Между фазами электродвижущей силы и тока получается постоянная разность, выраженная через θ и удовлетворяющая равенству ${\mbox{tg}}\,\theta ={\frac {2\pi nL}{R}}$. Как видно из этой формулы, при большом числе перемен тока в единицу времени, при значительной величине L и малом сопротивлении R, разность фаз θ мало отличается от ${\frac {\pi }{2}}$, т. е. в тот момент, когда электродвижущая сила Е достигает своей наибольшей величины, сила тока весьма близка к 0, и обратно. Итак, явление П. тока в проводнике происходит так, как будто в данный момент t действует в этом проводнике электродвижущая сила не $E=E_{0}\sin 2\pi {\frac {t}{T}}$, а сила, равная $E=E_{0}\sin \left(2\pi {\frac {t}{T}}-\theta \right)$, и, кроме того, как будто проводник имеет сопротивление не R, но большее, равное ${\sqrt {R^{2}+4\pi ^{2}n^{2}L^{2}}}$. Последнее сопротивление, т. е. ${\sqrt {R^{2}+4\pi ^{2}n^{2}L^{2}}}$, носит название кажущегося сопротивления проводника при существовании в нем П. тока. Кажущееся сопротивление проводника при значительной величине L, как это будет в том случае, когда проводник имеет форму спирали или намотан в виде катушки и в особенности когда внутри такой катушки находится железо (пучок железных проволок или сложенные вместе железные полосы), может во много раз превышать сопротивление R, т. е. сопротивление, оказываемое этим проводником постоянному току. Но и при небольшой величине L кажущееся сопротивление будет большое, когда n велико. Нужно еще заметить, что при очень больших величинах n (тысячи для железных проволок и стержней, миллионы для проводников из немагнитных металлов) кажущееся сопротивление проводника должно быть выражено через ${\sqrt {R'^{2}+4\pi ^{2}n^{2}L'^{2}}}$, т. е. входящие в выражение кажущегося сопротивления величины R′ и L′ отличаются от величин R и L, определяемых из опытов с токами, постоянными и П. со сравнительно небольшой величиной n. Это происходит оттого, что при очень большой величине n П. токи не проникают, как показывает теория и подтверждают опыты, всей внутренней массы проводника. В этом случае такие П. токи, т. е. П. токи очень большой частоты, распространяются только по поверхностным слоям проводника, а потому сплошной цилиндр или проволока являются по отношению к этим токам эквивалентными проводникам, имеющим форму трубок того же внешнего диаметра, как сплошной цилиндр или проволока. Для цилиндрических проводников с поперечным сечением в виде круга найдены Рэлэем следующие выражения для R′ и L′:

$R'=R\left(1+{\frac {1}{12}}{\frac {\mu ^{2}l^{2}p^{2}}{R^{2}}}-{\frac {1}{180}}{\frac {\mu ^{4}l^{4}p^{4}}{R^{4}}}+...\right)$,

$L'=l\left\{A+\mu \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{48}}{\frac {\mu ^{2}l^{2}p^{2}}{R^{2}}}+{\frac {13}{8640}}{\frac {\mu ^{4}l^{4}p^{4}}{R^{4}}}-...\right)\right\}$.

Здесь μ обозначает магнитную проницаемость вещества проводника, l обозначает длину его, p = 2πn. Эти формулы значительно упрощаются, если положить, что n очень велико. В последнем случае мы получим

$R'={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mu lpR}},\ L'=l\left(A+{\sqrt {\frac {\mu R}{2lp}}}\right)$.

Возникновение в проводнике П. токов с очень большим числом перемен происходит в случае колебательных разрядов через этот проводник какого-либо наэлектризованного тела или конденсатора (см. Колебательный разряд). Такое же явление встречается при ударе молнии в громоотвод (см.). П. токи чрезвычайно большой частоты (например, токи Тесла) не вызывают никакого болевого ощущения в человеческом организме, тогда как П. токи со сравнительно небольшим числом n производят весьма сильные физиологические действия на нервную систему человека и животных.

Вместо выражения (5′) можно написать

$i=J\sin \left(2\pi {\frac {t}{T}}-\theta \right)=J\sin 2\pi {\frac {t'}{T}}$ . . . (7).

Здесь J обозначает наибольшую величину силы П. тока. Из формулы (7) мы получаем для средней арифметической величины силы тока (i_m) (средней для всех значений i между 0 и J) выражение:

$i_{m}={\frac {1}{{\frac {1}{4}}T}}\int _{0}^{{\frac {1}{4}}T}idt={\frac {2}{\pi }}J=0,637J$.

Средняя квадратичная сила П. тока (i_e), или, по современной номенклатуре, действующая сила переменного тока (intensité efficace) получается по формуле

$i_{e}={\sqrt {(i^{2})_{m}}}$, где $(i^{2})_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i^{2}dt={\frac {J^{2}}{2}}$

Итак, имеем$i_{e}={\frac {J}{\sqrt {2}}}=0,707J$,

откуда, обратно, получаем $J={\sqrt {2}}\cdot i_{e}=1,414i_{e}$.

Приборы, служащие для измерения силы П. тока (электродинамометры и амметры), обыкновенно и показывают величину i_e, так как эти приборы основаны на действиях, пропорциональных квадрату силы тока. В самом деле, эти приборы основаны или на электродинамическом действии тока, или на тепловом его действии, или на действии тока на намагничиваемое им железо.

Подобным же образом, как при определении i_m и i_e, мы находим для средней арифметической величины (Е_m) электродвижущей силы выражение

$E_{m}={\frac {2}{\pi }}E_{0}=0,637E_{0}$,

и для средней квадратичной величины (Е_e ) или, по современной номенклатуре, для действующей электродвижущей силы Е_e (force électromotrice efficace) выражение

$E_{e}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}=0,707E_{0}$

Средняя работа в единицу времени (W_m), необходимая для поддержания в проводнике П. тока, выражается через

$W_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Eidt={\frac {E_{0}J}{2}}\cos \theta$

Такая же работа в течение единицы времени совершается в среднем и током. Эта работа будет очень мала, когда разность фаз θ близка к ${\frac {\pi }{2}}$.

Положим, что вблизи данного неизменяемого проводника с П. током находится другой неизменяемый замкнутый проводник, в котором появляются индукционные токи, происходящие от действия на этот проводник данного проводника с П. током в нем.

Обозначая через R₁ и R₂ сопротивления первого и второго проводников, через L₁ и и L₂ — коэффициенты самоиндукции этих проводников, через M — коэффициент взаимной индукции их, через $E=E_{0}\sin 2\pi {\frac {t}{T}}$ — электродвижущую силу в первом проводнике и через i₁, i₂ силы токов в них, мы получаем при помощи выражения (1) следующие дифференциальные уравнения:

$L_{1}{\frac {di_{1}}{dt}}+M{\frac {di_{2}}{dt}}+R_{1}i_{1}-E_{0}\sin 2\pi nt=0$,

$L_{2}{\frac {di_{2}}{dt}}+M{\frac {di_{1}}{dt}}+R_{2}i_{2}=0$.

Отсюда находим

$i_{1}={\frac {E_{0}\sin(2\pi nt-\theta _{1})}{\sqrt {\left(R_{1}+4\pi ^{2}n^{2}{\frac {M^{2}R_{2}}{R_{2}^{2}+4\pi ^{2}n^{2}L_{2}^{2}}}\right)^{2}+4\pi ^{2}n^{2}\left(L_{1}-4\pi ^{2}n^{2}{\frac {ML_{2}}{R_{2}^{2}+4\pi ^{2}n^{2}L_{2}^{2}}}\right)^{2}}}}$ . . . (8).

Итак, присутствие какого-либо замкнутого проводника вблизи данного проводника, в котором действует гармонически изменяющаяся электродвижущая сила, производит изменение кажущегося сопротивления этого проводника так, как будто истинное сопротивление (R₁) этого проводника увеличивается, а коэффициент самоиндукции (L₁) его уменьшается. На этом основано регулирование П. токов, употребляемых в электротехнике, при помощи вдвигания или выдвигания замкнутой катушки внутрь другой катушки, введенной в цепь регулируемого тока.

Влияние самоиндукции цепи на силу тока в этой цепи, когда возбуждающая ток электродвижущая сила изменяется гармонически, т. е. выражается через Е = E₀Sin2πnt, может быть уменьшено употреблением конденсатора. В самом деле, поместив в цепь П. тока конденсатор, емкость которого пусть будет обозначена через С, а разность потенциалов в какой-либо момент времени через V, мы получаем для силы тока в цепи выражения

$i={\frac {E-L{\frac {di}{dt}}-V}{R}}$ . . . . (9)

и

$i=C{\frac {dV}{dt}}$ . . . . . . (10).

Так как при $E=E_{0}\sin 2\pi {\frac {t}{T}}$ должно быть $i=J\sin(2\pi nt-\theta )$, то получается

$V=-{\frac {J}{2\pi nC}}\cos(2\pi nt-\theta )=-{\frac {1}{4\pi ^{2}n^{2}C}}{\frac {di}{dt}}$ . . . (11).

При помощи формул (9) и (11) находим $i={\frac {E-\left(L-{\frac {1}{4\pi ^{2}n^{2}C}}\right){\frac {di}{dt}}}{R}}$ . . . (12).

Отсюда получаем$i={\frac {E_{0}\sin(2\pi nt-\theta )}{\sqrt {R^{2}+4\pi ^{2}n^{2}\left(L-{\frac {1}{4\pi ^{2}n^{2}C}}\right)^{2}}}}$ . . . (13)

и ${\mbox{tg}}\theta ={\frac {2\pi n\left(L-{\frac {1}{4\pi ^{2}n^{2}C}}\right)}{R}}$ . . . (14).

Итак, введение конденсатора с емкостью С в цепь П. (гармонически изменяющегося) тока производит уменьшение коэффициента самоиндукции цепи на величину ${\frac {1}{4\pi ^{2}n^{2}C}}$, т. е. конденсатор, введенный в такую цепь, может быть уподоблен проводнику, сопротивление которого равно 0, а коэффициент самоиндукции равен $-{\frac {1}{4\pi ^{2}n^{2}C}}$. Введение конденсатора в цепь изменяет также и разность фаз электродвижущей силы и тока, как это видно из формул (6′) и (14). Введение конденсатора с емкостью С в ответвление цепи можно рассматривать, как помещение в это ответвление проводника, сопротивление которого равно 0, а коэффициент самоиндукции равен $-{\frac {1}{4\pi ^{2}n^{2}C}}$.

Если П., гармонически изменяющийся ток разветвляется в сети проводников, причем отдельные ветви обладают самоиндукцией и емкостью, то определение силы тока в какой-либо такой ветви может быть произведено следующим образом. Пусть сила тока в главной ветви, из которой ток разделяется на отдельные ветви, выражается через

$i=2J\cos \,2\pi nt=2J\cos \,pt$ . . . . . (15).

Здесь введено обозначение p = 2πn.

Но $\cos pt={\tfrac {1}{2}}(e^{pt{\sqrt {-1}}}+e^{-pt{\sqrt {-1}}})$, где е основание натуральных логарифмов. Поэтому мы можем положить

$i=Je^{pt{\sqrt {-1}}}+Je^{-pt{\sqrt {-1}}}$ . . . . (16).

Сила тока в какой нибудь ветви может быть выражена через

$j_{s}=K_{s}Je^{pt{\sqrt {-1}}}+K'_{s}Je^{-pt{\sqrt {-1}}}$ . . . . (17).

Коэффициенты K_s и K′_s для различных ветвей s находятся из обобщенных уравнений Кирхгофа, примененных к рассматриваемой сети проводников. А именно для каждой точки разветвлений, т. е. для каждой точки, в которой пересекаются проводники должно быть

$\Sigma _{s}K_{s}=0,\ \Sigma _{s}K'_{s}=0$ . . . . (18)

и для каждого замкнутого контура, состоящего из ветвей сети, должно быть

$\Sigma K_{s}W_{s}=0,\ \Sigma K'_{s}W_{s}=0$ . . . . (19),

причем

$W_{s}=r_{s}+pL_{s}{\sqrt {-1}}+{\frac {1}{pC{\sqrt {-1}}}}$ . . . . (20).

Здесь r_s обозначает сопротивление ветви s, L_s — коэффициент самоиндукции этой ветви и C_s — емкость ее.

Система П., гармонически изменяющихся токов с постоянной разностью фаз между двумя соседними токами носит название многофазного тока. Так, многофазный ток образуют n токов, силы которых выражаются через

$i_{1}=J\sin 2\pi nt$

$i_{2}=J\sin \left(2\pi nt+{\frac {2\pi }{n}}\right)$

$i_{3}=J\sin \left(2\pi nt+2{\frac {2\pi }{n}}\right)$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$i_{n-1}=J\sin \left(2\pi nt+(n-2){\frac {2\pi }{n}}\right)$

$i_{n}=J\sin \left(2\pi nt+(n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)$.

Сумма этих токов в каждый отдельный момент равна 0, в чем легко убедиться, сложив вместе выражения i₁, i₂, i₃,…i_n—1, i_n. Вследствие этого свойства такая система n токов, образуемая генератором, требует всего только n проводников, соединенных вместе их концами. Наиболее часто употребляется в электротехнике трехфазный ток, т. е. 3 тока, отличающиеся друг от друга по фазе на 120°. Такие многофазные токи употребляются главным образом для приведения во вращение электродвигателей с вращающимся магнитным полем (см. Электродвигатель). П. ток образует вокруг себя переменное магнитное поле, а потому если такой П. ток проходит по обмотке с сердечником из железа, то он возбуждает в этом железе П. магнитный поток и этот П. магнитный поток, период которого одинаков с периодом П. тока, вызывает индукционые токи, также П. и того же периода, в другой обмотке, окружающей собой сердечник первой и замкнутой какими-либо проводниками. Действующая электродвижущая сила в цепи этой второй обмотки может быть весьма различна, смотря по тому, каково отношение между числами оборотов проволоки в той и в другой обмотке. На этом начале устраиваются особые приборы, называемые трансформаторами и предназначаемые для превращения переменных токов малой силы и большого напряжения в П. токи большой силы и малого напряжения и обратно (см. Трансформатор). Благодаря возможности весьма легко, без употребления сложных и дорогостоящих приборов трансформировать П. токи из одних в другие, эти П. токи вошли в большое употребление на практике для целей электрического освещения и передачи электрической энергии на расстояние (см. Передача энергии).

И. Боргман.