Мезолабий — прибор, изобретенный Эратосфеном для механического построения двух средних пропорциональных между двумя данными линиями. Он состоял из трех равных прямоугольных пластинок, сделанных из дерева, слоновой кости или металла и свободно двигающихся между двумя линейками в расположенных на этих последних друг над другом параллельных пазах. На фигуре линии АЕ и FL представляют линейки, прямоугольник ABFG верхнюю из трех пластинок, BCGH выдвинутую из-под нее часть средней пластинки и CDHK выдвинутую из-под средней часть нижней пластинки. Если требуется найти две средние пропорциональные между AF и МК, то средняя и нижняя пластинки должны быть выдвинуты каждая из-под своей верхней на столько, чтобы прямая, соединяющая точки А и М, проходила через начальные точки Q и P, видимые из-под верхних пластинок частей диагоналей нижних.
Тогда QG и PH и будут две средние пропорциональные между AF и КМ. Действительно из пропорций:
1) АF:QG = AN:QN
2) QG:PH = AG:QH
3) QG:PH = QN:PN
4) PH:KM = QH:PK
вследствие равенства вторых отношений в пропорциях 1) и 2), 3) и 4) прямо следует
AF:QG = QG:PH = PH:KM.
Описание М. находится в письме Эратосфена об удвоении куба, написанном для царя Птолемея Эвергета и дошедшем до нас через посредство комментатора сочинений Архимеда, Эвтокия Аскаланского, который поместил полное воспроизведение этого письма в своем комментарии к сочинению Архимеда: «О шаре и цилиндре». Сам Эратосфен так высоко ценил свое изобретение, что для сохранения о нем памяти на вечные времена велел повесить его экземпляр в храме в виде дара по обету, причем присоединил к нему сделанную им самим надпись, содержащую правила употребления прибора.