ЭСБЕ/Логарифм

Логарифм
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Ледье — Лопарев. Источник: т. XVIIa (1896): Ледье — Лопарев, с. 894—896 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Логарифм. — Л. данного числа n называется показатель степени, в которую нужно возвести некоторое другое данное число а, называемое основанием, чтобы получить n; так что зависимость между данным числом n, основанием а и Л. х числа n выражается формулою n = a^х. Л. числа обозначается символом log, или lg, или L. Л. числа n, взятый при основании а, обозначается иногда так: $\lg _{a}n,$ причем всегда должно удовлетворяться равенство $n=a\lg _{a}n.$ Например, из равенства 1000=10³ следует $3=\lg _{10}1000.$ Из равенства $n=a\lg _{a}n$ вытекают свойства логарифмов, обусловливающие полезность этой функции, а именно: 1) Л. произведения равен сумме Л. производителей; 2) Л. частного равен разности Л. делимого и делителя; 3) Л. степени равен произведению показателя степени на число, возводимое в степень; 4) Л. корня равен Л. подкоренной величины, разделенному на показатель корня. Эти свойства выражаются формулами:

$\lg(uv)=\lg u+\lg v;\ \lg \left({\frac {u}{v}}\right)=\lg u-\lg v;\ \lg(u^{m})=m\lg u;\ \lg {\sqrt[{m}]{u}}={\frac {\lg u}{m}}.$

Обладая такими свойствами, Л. дают возможность свести: умножение на сложение, деление на вычитание, возведение в степень на умножение и извлечение корня на деление, что и выясняет огромное практическое значение Л. для всех, кто имеет дело со сложными арифметическими вычислениями. При нашей десятичной системе исчисления самым удобным основанием оказывается число 10; имеется и множество таблиц, в которых даются Л. последовательных чисел начиная от 1 до 100000. При основании, равном 10, только Л. целых степеней десяти суть целые числа, Л. же простых чисел представляются десятичными дробями, например $\lg 30=1,4771213.$ Целая часть такой дроби наз. характеристикою, а дробная — мантиссою. Характеристика определяется прямо по числу цифр целой части числа, именно, она равна числу таких цифр без единицы. Например, для числа 354,25, имеющего три цифры в целой части, характеристика будет 2. Благодаря такому легкому способу определения характеристики в таблицах дается лишь одна мантисса. Для большего упрощения вычислений самое вычитание Л. заменяется обыкновенно сложением, для чего вводят вместо вычитаемого Л. дополнение этого Л. Дополнением называется разность между Л. и числом 10. Если характеристика данного Л. более 10, то характеристика дополнения будет отрицательная, что и обозначается знаком —, который ставится над нею; например, дополнение от 12,3542351 будет ${\overline {3}},6457649$. Вычесть из одного Л. другой Л. все равно, что придать к первому Л. дополнение второго и из результата вычесть 10. Для уяснения пользы, приносимой Л. при вычислениях, возьмем два примера. 1) Определим конечный результат арифметических действий, выражаемых формулой $x={\frac {53126\cdot 32135}{25677\cdot 62353}}.$ Производя эти действия обыкновенными приемами, мы должны были бы исписать довольно много бумаги; с помощью Л. задача решается тем, что подыскиваются в таблице Л. чисел, стоящих в числителе, и Л. чисел, стоящих в знаменателе, из последних в уме определяются их дополнения, и все это складывается следующим образом:

	$\lg 53126=4,7253071$
	$\lg 32135=4,5069783$
дополнение	$\lg 25677=5,5904557-10$
дополнение	$\lg 62353=5,2051426-10$
	${\begin{aligned}20,0278837&-20\\=0,0278837&\ \end{aligned}}$

Ближайший к нему Л. в таблицах имеет мантиссу 0278794, и ему соотвтствует в таблице число 10663; соответствующее число должно иметь одну цифру в целой части; если возьмет 1,0668, то это число выразит собою искомое число с точностью 0,0001. 2) Найдем ${\sqrt[{5}]{3}}.$ Обыкновенная алгебра даже не дает никаких других приемов для вычисления такого радикала кроме логарифмирования, посредством которого задача решается тем, что отыскивается в таблице $\lg 3=0,4771213;$ делением этого Л. на 5 получается 0,0954242, ближайший к этому логарифм в таблицах находим: 0,0954135, которому соответствует в таблице число 1,2457; это и будет ${\sqrt[{5}]{3}}$ с точностью 0,0001. Логарифмы были изобретены шотландским геометром Непером (Napier), который в 1614 году напечатал «Mirifici logarithmorum canonis descriptio», посвященное им принцу Валлийскому (впоследствии король Карл I). Это сочинение in 4° представляет 56 страниц текста и 90 страниц таблиц; оканчивается оно словами: «собирая плоды этого небольшого произведения, воздайте должную славу и благодарность Богу высшему создателю и расточителю всех благ». Непер принял за основание своих таблиц особое несоизмеримое число, имеющее чрезвычайно важное значение в анализе и обозначаемое обыкновенно через е. Такой выбор основания поясняется следующими соображениями. Пусть α есть весьма малая величина, а — основание какой-либо системы; тогда члены арифметической прогрессии: 0, α, 2α, 3α… представят собою Л. членов геометрической прогрессии: 1, а^α, а^2α, а^3α…, в которой знаменатель отношения а^α, благодаря малости а, весьма мало отличается от 1. Назовем через β ту малую величину, на которую а^α отличается от 1, так что a^α=1+β; положим ${\tfrac {\alpha }{\beta }}=M.$ Тогда арифметическая прогрессия примет вид: 0, Mβ, 2Mβ, 3Mβ…, геометрическая же обратится в (1+β)⁰, (1+β)¹, (1+β)²… Количество β совершенно произвольно: известно только, что оно очень мало; множитель же M зависит от того, какое мы избрали основание. Самое простое положить M=1. Основание, при котором М=1, и выбрано было Непером для его таблиц. Определим его величину: при М=1 упомянутая арифметическая прогрессия обращается в: 0, β, 2β, 3β…, геометрическая есть (1+β)⁰, (1+β)¹, (1+β)²…; основание есть то число, которого Л. равен единице; положим, что (m+1)^ый член арифметической прогрессии равен 1, то есть что mβ=1, тогда соответствующий член (1+β)^m геометрической прогрессии и будет основанием, при котором М=1. Подставим в этот член вместо β его величину из mβ=1, получим $\left(1+{\tfrac {1}{m}}\right)^{m}.$ Эта величина и будет основанием неперовых Л., так что, разлагая до бинома Ньютона, получим

$e=\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=1+m{\frac {1}{m}}+{\frac {m(m-1)}{1\cdot 2}}{\frac {1}{m^{2}}}+\dots$ или $e=\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=1+1+{\frac {1-{\frac {1}{m}}}{1\cdot 2}}+{\frac {\left(1-{\frac {m}{1}}\right)\left(1-{\frac {2}{m}}\right)}{1\cdot 2\cdot 3}}+\dots ;$

так как β весьма мало, то m весьма велико, и дроби, содержащие m в знаменателе, по малой их величине можно отбросить; таким образом получим:

$e=1+1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dots =2,71828\dots$

Неперовы Л. называются иногда гиперболическими или натуральными; натуральными потому, что проще всего было предположить М=1; гиперболическими потому, что если в равносторонней гиперболе, отнесенной к асимптотам, принять абсциссу вершины за единицу, то площадь, заключенная между гиперболою, осью абсцисс, ординатою вершины и ординатою, соответствующею абсциссе x, равна $\lg x$ в неперовой системе. Величина е имеет особенно важное значение в анализе благодаря существованию ряда:

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{1\cdot 2}}+{\frac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {x^{4}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dots$

благодаря способности разлагаться в такой ряд показательная функция e^х служит переходом от алгебраических функций к тригонометрическим, потому что из сравнения этого ряда с разложениями cosx и sinx следуют формулы:

$\cos x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}};\ \sin x={\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}-e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}.$

Зная Л. числа m при данном основании а, можно определить Л. х числа m и при всяком другом основании b, потому что из равенства m=е следует $\lg m=x\lg _{a}b,$ откуда: $x=\lg _{b}m={\tfrac {\lg _{a}m}{\lg _{a}b}};$ из этой формулы видно, что, имея Л. числа m при основании а, следует только помножить его на ${\tfrac {1}{\lg _{a}b}},$ чтобы получить Л. числа m при основании b. Множитель, служащий для перехода от одной системы к другой, называется модулем. Модуль, на который следует множить неперовы Л. для получения Л. при основании 10, равен 0,4349448. Л. удовлетворяют, между прочим, следующим замечательным рядам: $\lg(1+x)=(x-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\tfrac {x^{3}}{3}}-{\tfrac {x^{4}}{4}}+\dots )M,$ где M есть модуль для перехода от неперовых Л.; $\lg(n+1)-\lg n=2M\left({\tfrac {1}{2n+1}}+{\tfrac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\tfrac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\dots \right).$ Посредством последнего, весьма быстро сходящегося ряда обыкновенно и вычисляются Л. следующим образом: зная, что $\lg 100=2,$ подставим в наш ряд 100 вместо n; получим $\lg 101-2=M\left({\tfrac {1}{201}}+{\tfrac {1}{3\cdot 201^{3}}}+{\tfrac {1}{5\cdot 201^{5}}}+\dots \right);$ последующие члены ряда, стоящего в скобках, уже настолько малы, что ими можно пренебречь и простым вычислением получить $\lg 101=2,0043214;$ зная $\lg 101,$ получим $\lg 102$ и так далее. Понятие о Л. обобщается распространением логарифмирования и на мнимые функции; при этом получаются формулы: $\lg(a+bi)=\lg[r(\cos \varphi +i\sin \varphi )]=\lg r+(2n\pi +\varphi )i,$ где $i={\sqrt {-1}},$ $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$ $\cos \varphi ={\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},$ $\sin \varphi ={\tfrac {b}{\sqrt {a^{+}b^{2}}}}.$

Кроме Л. чисел, в таблицах обыкновенно помещаются Л. тригонометрических величин (см. Тригонометрические таблицы). Первые таблицы, в которых за основание было принято число 10, были напечатаны другом Непера Бриггом в 1624 г. под заглавием «Arithmetica logarithmica». В таблице Бригга были даны Л. чисел, начиная с 1 до 20000 и от 90000 до 100000, с 14 знаками в мантиссе. Голландский математик Влакк (Adrien Vlacq) пополнил пробел бригговских таблиц и напечатал в 1628 г. таблицы, содержащие Л. всех чисел от 1 до 100000, с десятью знаками в мантиссе. Из последующих изданий наиболее известны таблицы Гардинера, Баббаджа и Тейлора. В настоящее время употребляются чаще всего при вычислениях таблицы Каллета (до 106000), карманные таблицы Лаланда с пятью знаками и таблицы Бремикера семизначные, представляющие обработку таблиц Веги «Thesaurus logarithmorum completus» (1794). Существуют и весьма распространены у нас русские табл. Бремикера, напечатанные стереотипно.

Гауссовы Л. Для определения Л. суммы и разности двух чисел по Л. этих чисел Гаусс изобрел особые таблицы. Лучшие издания Гауссовых Л. представляют издания Витштейна, Матиссена и Цеха.

Н. Делоне.