ЭСБЕ/Кватернион

Кватернион
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Карданахи — Керо. Источник: т. XIVa (1895): Карданахи — Керо, с. 866—867 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Кватернион. — Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (VIII, 71), представляет собою теорию векторов (V, 742), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k — символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:

A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i² = −1, j² = −1, k² = −1.

B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или −, в зависимости от порядка множителей, а именно:

ij = k, ji = −k jk = i, kj = −i ki = j, ik = −j.

Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (VIII, 411) векторов, а через умножение вектора α = xi + yj + zk на другой вектор α₁ = х₁i + y₁j + z₁k получается на основании свойств A и B следующее выражение:

s + fi + gj + hk

(С)

‎в котором:

s = −(хх₁ + yy₁ + zz₁) f = yz₁ − zy₁ g = zx₁ − xz₁ h = xy₁ − yx₁

Означим через r и r, длины обоих векторов, через Θ угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол Θ до совмещения с направлением r₁ казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.

Известно, что хх₁ + yy₁ + zz₁ = rr₁cosΘ и что

f = −lrr₁sinΘ g = −mrr₁sinΘ h = −nrr₁sinΘ

‎поэтому

αα₁ = −rr₁cosΘ — λrr₁sinΘ,

‎где

λ = li + mj + nk.

Следовательно, произведение αα₁ есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr₁cosΘ) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r₁, отложенного от конца вектора r. Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о К. рассматриваются различные действия над К. и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, «Elemente der Quaternionen» (нем. излож. Paul Glan, Лпц., 1882); Tait, «An Elementary Treatise on Quaternions»; P. Kelland and P. G. Tait, «Introduction to Quaternions».

Д. Б.