ЭСБЕ/Квадратуры

Квадратуры
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Карданахи — Керо. Источник: т. XIVa (1895): Карданахи — Керо, с. 842 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Квадратуры — В интегральном исчислении так называются способы для приближенного вычисления площадей криволинейных фигур по нескольким данным ординатам кривой, или, что то же самое, способы для приближенного вычисления определенного интеграла $\int _{a}^{b}f(x)dx$ по данным значениям подынтегральной функции для нескольких частных значений х в пределах интеграла. Простейшие формулы К. суть:

1) Способ трапеций.

$\int _{b}^{a}f(x)dx={\frac {\omega }{2}}\left\{f(a)+2f(a+\omega )+2f(a+2\omega )+\dots +2f(b-\omega )+f(b)\right\},$

‎где $\omega ={\frac {b-a}{n}},$ а n — целое число. Погрешность этой формулы, или так называемый остаточный член, равен

$-{\frac {(b-a)^{3}\cdot f''(\xi )}{12n^{2}}},$ где $a<\xi <b.$

2) Способ Симсона.

$\int _{b}^{a}f(x)dx={\frac {\omega }{6}}\left\{f(a)+4f\left(a+{\frac {\omega }{2}}\right)+2f(a+\omega )+4f\left(a+{\frac {3\omega }{2}}\right)+\dots +\right.$$\left.+2f(b-\omega )+4f\left(b-{\frac {\omega }{2}}\right)+f(b)\right\},$

‎причем ω имеет то же значение, а погрешность формулы равна

$-{\frac {(b-a)^{5}\cdot f^{\mbox{IV}}(\xi )}{90\cdot 2^{5}\cdot n^{4}}},$ где $a<\xi <b.$

Существует множество других формул К., как, напр., формулы Котеса, Гаусса, Эрмита и др. Особенно замечательна формула Чебышева, имеющая следующий простой вид:

$\int _{b}^{a}f(x)dx=(b-a)\cdot \left\{{\frac {f(x_{0})+f(x_{1})+\dots +f(x_{n})}{n+1}}\right\},$

‎где x₀, x₁, … x_n зависят от числа n. Эта формула очень удобна для вычисления приближенного значения площадей криволинейных фигур, когда дан чертеж кривой.

В. Витковский.