ЭСБЕ/Иррациональное число

Иррациональное число
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Имидоэфиры — Историческая школа. Источник: т. XIII (1894): Имидоэфиры — Историческая школа, с. 346 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Иррациональное число — так называются в математике числа, которые не могут быть точно выражены ни целыми числами, ни арифметическими дробями, а представляются бесконечными и непериодическими десятичными дробями; означаются особыми знаками (радикалами) или буквами (е, π). Полная, превосходная по своей строгости теория И. чисел, или, что одно и то же, несоизмеримых отношений, существовала уже у греков и изложена Эвклидом в V-й книге его «Начал». В настоящее время пользуются известностью взгляды гейдельбергского профессора Кантора. Для выяснения сущности И. числа рассмотрим ряд чисел

$u_{1}\ u_{2}\ u_{3}\ \dots \ u_{n}$

(1)

определяющих некоторую переменную величину u. Числа u₁ u₂ … u_n пусть будут рациональны, т. е. такие, которые известны из элементарной арифметики, именно положительные или отрицательные, целые числа или рациональные дроби. Если существует такое рациональное число а, что числовое значение разности (u_n — a) может быть сделано, при достаточно большом n, меньше всякого наперед произвольно заданного малого числа ε, то а называется пределом переменной величины и. Отсюда следует, что ряд (1) обладает свойством:

числовое значение $u_{n+m}-u_{n}<\epsilon$

(2)

при всяком m (хотя бы даже зависящем от n), при достаточно большом n. Свойство ряда (1), выражаемое неравенством (2), есть основное для переменных, имеющих пределы, но обратного предложения не существует, т. е. переменная величина может иметь ряд частных значений, обладающих свойством (2), и не существовать такого числа a (рационального), которое можно было бы назвать пределом. Так вот, если рационального предела переменной u не существует, а частные значения переменной удовлетворяют свойству, выражаемому неравенством (2), то говорят, что эта переменная имеет пределом И. число. Вычислить И. число с точностью до некоторой заданной дроби ${\tfrac {1}{p}}$ — это значит указать номер n частного значения переменной величины u, имеющей свойство (2), для которого, равно как и для всех высших номеров, удовлетворяется неравенство:

$u_{n+m}-u_{n}<{\frac {1}{p}}.$

Обозначая это значение переменной через u₀, можно сказать, что рациональное число u₀ есть приближение к И., заданному известным рядом, с точностью до ${\tfrac {1}{p}}$. Такое рациональное число u₀ и вводится затем в приближенные вычисления вместо И. числа. Пусть дана десятичная дробь

3,14159…

у которой цифры десятичных идут в некоторой определенной последовательности, т. е. существуют правила для продолжения этих цифр как угодно далеко, причем ряд цифр не кончается и сколько бы их ни было написано, всегда можно, если пожелаем, по указанным правилам, продолжать ряд далее. Отдельные числа ряда (1) в данном случае будут:

u₁ = 3

u₂ = 3,1

u₃ = 3,14

u₄ = 3,141

…

…

Возьмем разность

$u_{n+m}-u_{n}=0,000\dots 00\alpha \beta \gamma \dots \delta ,$

в которой после запятой будет n нулей и затем еще m десятичных цифр. Каковы бы ни были цифры β, γ,… δ, число $\alpha \beta \gamma \dots \delta <(\alpha +1)000\dots$ Отсюда следует, что при достаточно большом n и совершенно независимом от числа m, дробь ${\frac {\alpha +1}{10^{n}}}$ может быть сделана как угодно малой, а

$u_{n+m}-u_{n}<{\frac {\alpha +1}{10^{n}}},$

причем это неравенство имеет место, сколько бы ни было цифр β, γ… δ, т. е. каково бы ни было конечное число m. Таким образом всякая бесконечная десятичная непериодическая дробь определяет всегда некоторое И. число, напр. π, е, ${\sqrt {2}}$ и пр. Поэтому вычислить И. число с точностью до ${\frac {1}{10^{n}}}$ это значит вычислить n десятичных знаков в разложении заданного И. числа в бесконечную десятичную дробь.

Д. Граве.