ЭСБЕ/Интерполирование

Интерполирование
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Имидоэфиры — Историческая школа. Источник: т. XIII (1894): Имидоэфиры — Историческая школа, с. 266—267 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Интерполирование в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что b‴ = а″ − а‴, b″ = а′ − а″ … с″ = b″ − b‴…

Аргум.	Функц.	1-ые разн.	2-ые разн.	3-ьи разн.	4-ые разн.
T−3h T−2h T−0h T T+0h T+2h T+3h ....	a‴ a″ a′ a0 a1 a2 a3 ....	b‴ b″ b′ b1 b2 b3 ....	c″ c′ c0 c1 c2 ....	d″ d′ d1 d2 ....	e′ e0 e1 ....

Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.:

Формула Ньютона. $a=a_{0}+\left\{{\frac {b'+b_{1}}{2}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {d'+d_{1}}{2}}+\dots \right\}n+\left\{{\frac {c_{0}}{2}}-{\frac {e_{0}}{24}}+\dots \right\}n^{2}+\left\{{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {d'+d_{1}}{2}}-\dots \right\}n^{3}+\dots$ Формула Бесселя. $a=a_{0}+nb_{1}+{\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {c_{0}+c_{1}}{2}}+{\frac {n(n-1)(n-{\frac {1}{2}})}{1\cdot 2\cdot 3}}d_{1}+{\frac {(n+1)\cdot n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}\cdot {\frac {e_{0}+e_{1}}{2}}+\dots$ Формула Стирлинга. $a=a_{0}+{\frac {b'+b_{1}}{2}}n+c_{0}\cdot {\frac {n^{2}}{1\cdot 2}}+{\frac {d'+d_{1}}{2}}\cdot {\frac {(n-1)\cdot n\cdot (n+1)}{1\cdot 2\cdot 3}}+e_{0}{\frac {(n-1)\cdot n^{2}(n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\dots$

Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.

			a		b		c		d		e
Янв. 1 2 3 4	0h 12h 0h 12h 0h 12h 0h	+ + + + + + +	7°05′07,″1 8°59′56,″6 10°49′55,″5 12°34′01,″0 14°11′05,″9 15°39′58,″3 16°59′21,″3	+ + + + + +	1°54′49,″5 1°49′58,″9 1°44′05,″5 1°37′04,″9 1°28′52,″4 1°19′23,″0	− − − − −	4′50,″6 5′53,″4 7′00,″6 8′12,″5 9′29,″4	− − − −	1′02,″8 1′07,″2 1′11,″9 1′16,″9	− − −	4,″4 4,″9 5,″0

Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12°58′59,4″.

Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = a₀ + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.

При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается $n={\frac {a-a_{0}}{b}}$. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.

Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов x₁, x₂…x_n, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:

$F(x)=U_{1}\cdot {\frac {(x-x_{2})(x-x_{3})\dots (x-x_{n})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})\dots (x_{1}-x_{n})}}+U_{2}\cdot {\frac {(x-x_{1})(x-x_{3})\dots (x-x_{n})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})\dots (x_{2}-x_{n})}}+\dots$ $+U_{n}\cdot {\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\dots (x-x_{n-1})}{(x_{n}-x_{1})(x_{n}-x_{2})\dots (x_{n}-x_{n-1})}}+\dots ,$

‎где $U_{1}=F(x_{1}),U_{2}=F(x_{2})\dots U_{n}=F(x_{n}).$

Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.

Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.

Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.

В практических приложениях определение значения функции для аргумента, лежащего не между данными, а вне их, известно под названием экстраполирования и совершается по правилам И. с той лишь разницей, что некоторые разности приходится вычислять, считая число их ограниченным. Числовые результаты экстраполирования всегда менее благонадежны, чем результаты И. Литература см. Исчисление конечных разностей.

В. Витковский.