ЭСБЕ/Изменение переменной независимой

Изменение переменной независимой
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Земпер — Имидокислоты. Источник: т. XIIa (1894): Земпер — Имидокислоты, с. 855—856 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Изменение переменной независимой. — Под этим названием известна одна из основных задач дифференциального и интегрального исчислений. И. переменой независимой делается обыкновенно с целью привести дифференциальное уравнение, не поддающееся непосредственному интегрированию, к другому, которое представлялось бы одним из классов, удобных для интегрирования. Чтобы разъяснить, в чем состоит И. переменной независимой заметим, что величины первых дифференциалов не зависят от того, которую из переменных считают за независимую. Первый дифференциал функции $f(x)$ всегда выражается формулой $df(x)=f'(x)\cdot dx,$ причем, если желательно ввести новую независимую переменную t так, что прежняя независимая переменная x будет некоторой новой функцией от t, φ (t), то вместо x придется подставить φ(t), а вместо dx величину $d\phi (t)=\phi '(t)\cdot dt.$ Не останавливаясь на этом случае, рассмотрим И. переменной независимой для дифференциалов высших порядков. Пусть дана функция $\Pi (x,y,y',y''\dots y^{(n)}).$ Требуется ввести вместо независимой переменной x, ее функции у и всех производных, входящих в выражение $\Pi ,$ новую независимую переменную ξ, ее новую функцию η и производные от этой функции η по ξ, которые означим через $\eta ',\eta ''\dots \eta ^{(n)},$ так что будет $\Pi (x,\,y,\,y'\dots y^{(n)})=\Phi (\xi ,\,\eta ,\,\eta '\dots \eta ^{(n)}).$ Здесь всегда предполагается, что задана такая связь между старыми переменными x и у, с одной стороны, и новыми ξ и η, с другой, что возможно выразить функцию $\Pi$ в виде некоторой функции $\Phi$ от новых переменных. И так задача И. переменной независимой состоит в том, чтобы данное дифференциальное уравнение $\Pi (x,\,y,\,y'\dots y^{(n)})=0$ привести соответствующим выбором новых переменных к виду $\Phi (\xi ,\,\eta ,\,\eta '\dots \eta ^{(n)})=0,$ которое было бы удобнее трактовать. — Такое же значение имеет И. переменной независимой в случае, когда независимых переменных много, например в случае дифференциальных уравнений с частными производными. Для примера рассмотрим уравнение колебания струны:

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}-a^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=0.$

Изменим независимые переменные так, чтобы искомая функция и осталась прежняя и введем только новые независимые переменные ξ и η при помощи уравнений

$\xi =x+ay\,$ $\eta =x-ay\,$

Отсюда будет

${\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}-a^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}u}{d\eta d\eta }}$

‎и, следовательно, заданное дифференциальное уравнение обратится в более простое

${\frac {d^{2}u}{d\xi d\eta }}=0,$

‎которое интегрируется непосредственно. Общее его решение будет $u=\Pi (\xi )+\Phi (\eta )\,$ (см. Интегрирование уравнений). — Об изменении переменной независимой под знаком неопределенного интеграла см. Интегральное исчисление.

Д. Граве.