Доказательства вообще — Доказательство (Demonstratio) есть выведение истинности какого-либо положения (на основании силлогистических законов) из других положений. Доказывать можно лишь положения (понятия могут быть определяемы, факты — объясняемы и показываемы), и притом не все. Некоторые положения, обладающие самоочевидностью — аксиомы - не могут быть доказаны, а сами служат основанием всякого возможного Д. Иногда характер аксиомы приписывают положениям, которые не обладают самоочевидностью, но пользуются всеобщим признанием (напр. нравственные правила) и потому служат основой Д., хотя с точки зрения логической такое расширение понятия аксиомы недопустимо. Основанием для Д. может служить, кроме аксиом, еще и определение (напр. в юридических науках). Каждый волен дать определение понятия какое ему угодно, лишь бы оно не заключало в себе противоречия, и из него выводить следствия, которые должны считаться доказанными, если вывод сделан логически правильно, истинными же — лишь в той мере, в какой истинно определение, из которого они выведены. Факты сами по себе не могут служить основанием Д. (как, напр., учит Владиславлев в своей логике), а лишь инстанциями, из которых составляется довод в пользу того или иного положения. Многие положения хотя и могли бы быть доказаны, но за отсутствием доводов, т. е. тех понятий (средних терминов), которые могли бы связать эти положения с самоочевидными истинами, до поры до времени считаются недоказанными и выражаются условно (см. Гипотеза). Нет основания отличать опровержение от Д., ибо опровержение есть Д. ложности известного положения. Опровержение состоит в том, что мы показываем ложность посылок, из которых были делаемы заключения, или показываем ложность самого заключения, или, наконец, ослабляем значение доводов, т. е. стараемся показать, что приводимые понятия и факты не могут играть роли среднего термина. Отношение между доказываемым положением (проблемой, теоремой) и самим Д. более сложно, чем обычно предполагают. Всякое положение допускает различные Д. своей истинности, хотя не все они одинаково сильны и убедительны; поэтому опровержение Д. не должно непременно влечь за собой и опровержение самого положения. В истине два момента: объективный — соответствие познания познаваемому предмету, и субъективный — уверенность, что познание действительно соответствует познаваемому предмету. Д. должно иметь в виду оба момента — как истинность, так и уверенность в ней. Если Д. стремится лишь вызвать убеждение в истинности, не обращая внимания на саму истинность, то такое Д. становится софистическим, а искусство вызывать уверенность в истине одного положения и уничтожать уверенность противоположного свойства называется эристикой. Характер Д. и степень его точности зависят от положения, к которому оно применяется. В этом отношении, напр., Евклидовой геометрии был делаем справедливый упрек, что она заботится более о том, чтобы вынудить признание истинности какой-либо теоремы путем чистой логики, чем о том, чтобы сделать свои Д. очевидными и наглядными, каким характером должна отличаться геометрия. — Из всего сказанного вообще о доказательствах следует заключить, что: 1) знание возможно вне Д.; 2) что Д. не дает нам вполне новых знаний, но 3) придает знанию характер достоверности.
Форма Д. — Д., при всем их видимом разнообразии, могут быть сведены к некоторым основным типам, которые давно подмечены, хотя специальное разграничение этих типов в различных логиках делается различно. Два главных вида Д.: прямое, исходящее непосредственно из более общих положений, и косвенное, утверждающее истинность какого-нибудь положения на основании ложности ему противоречащего (основанием служит закон исключенного третьего). Из более детальных распределений видов Д. укажем на два: Лоце и Каринского. Лоце ("Logik", Лпц., 1874) делит каждый из основных родов Д., прямое и косвенное, на четыре вида: два прогрессивных и два регрессивных. Прогрессивным он называет Д., идущее от основания к следствию, при чем доказываемое положение является в виде следствия из аксиомы, или же Д. идет от доказываемого положения, истинность которого предполагается, к его следствиям; таким образом получаются четыре вида прогрессивных Д. — два прямых и два косвенных. Регрессивным Лоце называет Д., которое исходит из следствия, и им пользуется для оправдания основания; и здесь получаются четыре вида Д.: два регрессивных прямых и два регрессивных косвенных. Д., основанное на аналогии, Лоце справедливо отвергает, ибо аналогия содержит в себе указание на возможную связь явлений между собой, а не объяснение этой связи, тем менее Д. ее. Второе прямое регрессивное Д. представляет собой пример так называемой полной индукции; первое косвенное прогрессивное совпадает с доказательством путем исключения; второе косвенное прогрессивное — с так назыв. deductio ad absurdum. Вторая попытка классификации Д. принадлежит Каринскому ("Классификация выводов", СПб., 1880). Всякий вывод может быть рассматриваем как Д.; посему все сказанное Каринским о выводах может быть применено и к доказательствам. Вывод есть перенесение одного из основных элементов суждения на соответствующее место в другом суждении на основании некоторого отношения между остальными элементами обоих суждений. Основных элементов в суждении два: субъект и предикат; поэтому при выводе может быть речь о перенесении предиката из одного суждения в другое на основании отношения между субъектами или же о перенесении субъекта на основании отношения между предикатами. Получаются, т. обр., два основных вида выводов: 1) выводы, делаемые на основании сличения субъектов — выводы положительные; 2) выводы, делаемые на основании сличения предикатов — выводы отрицательные и гипотетические. Само перенесение одного элемента суждения на другое суждение делается на основании закона тожества. Положительные выводы Каринский делит на выводы: а) от предметов к предметам, на основании их реального или логического тожества; b) от отдельных предметов к группе предметов (сюда относятся заключения по так называемой полной индукции, по неполной индукции и т. д.) и от отдельных предметов к агрегату (т. е. от части к целому, а не от частного к общему). К положительным выводам относятся и 3) заключения от группы предметов к отдельным предметам. Гораздо важнее, чем знание форм Д., умение находить доводы для Д. — но научить этому логика не может.
Ошибки в доказательствах. Истинность Д. зависит от истинности посылок и соблюдения логических правил при выводе. Д. ложно в том случае, если посылки неправильны или форма вывода неправильна; к последнему роду ошибок относятся паралогизмы и софизмы. Если основная мысль ложна, то ложным будет все, что из нее вытекает; эта ошибка называется πρωτον ψεΰδος. Очень обычна ошибка, называемая petitio principii, или circulus in demonstrando, которая состоит в том, что положение, требующее Д., принимают за доказанное, и из него делаются выводы. В косвенных Д. ошибки могут происходить от неполного перечисления, заключающегося в разделительном суждении (большая посылка). Очень много сходного с последней категорией ошибок имеет и слишком поспешное индуктивное заключение, от недостаточного количества фактов к общему закону. Ошибка, в которую мы впадаем, когда из посылок делаем заключение к понятиям совершенно иного порядка, называется μετάβασις είς άλλο γένος. Д. могут грешить и количественно, т. е. Д. может быть слишком обширным, относительно чего имеет место правило qui nimium probat nil probat, — или же Д. может быть слишком узким, т. е. не охватывающим всего объема доказываемого положения. Ошибки в Д. превосходно изложены в пор-рояльской логике Арно ("La logique ou l'art de penser", XVII в.). Эристические приемы, к которым человек прибегает для убеждения слушателя, разобраны у Шопенгауэра ("Эристика", перевод кн. Цертелева, М., 1890, 2 изд.).