ЭСБЕ/Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Десмургия — Домициан. Источник: т. Xa (1893): Десмургия — Домициан, с. 706 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Дифференциальные уравнения (мат.). — Д. называются такие уравнения, которые дают зависимость между независимыми переменными, их функциями и производными этих функций по их независимым переменным. Например, пусть будет x независимая переменная, а y ее функция; тогда уравнение $x+2y+{\frac {dx}{dy}}=0$

будет Д. дифференциальное.

Д. уравнения разделяются на две больших категории: обыкновенные и с частными производными. Обыкновенными называются уравнения, в которые входят функции от одного независимого переменного и их производные по этому переменному. Уравнения с частными производными заключают функции от нескольких переменных и их частные производные по этим независимым переменным. Написанное выше Д. уравнение относится к числу обыкновенных, примером же уравнения с частными производными будет

${\frac {d^{2}u}{dx\cdot dy}}-u+2x+{\frac {du}{dx}}=0.$

Здесь x и y независимые переменные, а u их некоторая функция.

Д. уравнения различаются по порядкам. Порядком Д. уравнения называется высший из порядков производных, входящих в уравнение. Приведенный пример обыкновенного уравнения дает уравнение первого порядка, уравнение же с частными производными написано второго порядка. Интегрировать одно или несколько Д. уравнений значит найти все функции одного или нескольких независимых переменных (судя по тому, какие уравнения заданы), которые, будучи подставлены в Д. уравнение вместо обозначенных в нем функций, обращали бы его в тождество. Подробнее в ст. Интегральное исчисление.

Д. Граве.