Деление. — 1) Деление есть действие, обратное умножению; в нем по заданному произведению двух чисел и одному из двух множителей ищется второй множитель. Заданные произведение и множитель называются соответственно делимым и делителем, а искомый множитель — частным. В частности Д. целого числа на целое определяется, сколько раз меньшее число заключается в большем; в этом случае является еще один элемент Д. — остаток; далее, под Д. полинома А степени m на полином В степени n (n < m) разумеется определение полиномов: частного — Q и остатка — R, степеней n — mой и r < m, удовлетворяющих условию:
.
2) Правила Д. чисел и полиномов излагаются в руководствах; указания относительно приемов, употреблявшихся при Д. в древние и средние века, можно найти, между прочим, у Кантора в «Vorlesungen über Geschichte der Mathematik» (Лпц., 1880—92). Из правил приближенного Д. заслуживают внимания так назыв. сокращенное Д. и Д. Фурье, назван. им division ordonnée («Analyse des équations déterminées», 1831). В сокращенном Д. при составлении произведений найденных цифр частного на делителя число знаков последнего постепенно уменьшается на одну цифру; при этом поступают, как в следующем примере:
По правилу Фурье прежде всего в делителе отделяют слева один или несколько знаков (по усмотрению), которые и принимаются за действительный делитель. Затем Д. на этот последний делитель (сокращенный) производится по общим правилам, но после сноса цифры делимого к полученному частному остатку всякий раз вводится поправка, которая вычисляется следующим образом: найденные цифры частного подписываются в обратном порядке под цифрами делителя, следующими за теми цифрами, на которые действительно производится Д.; стоящие одна под другой цифры перемножаются, а сумма полученных произведений и составляет число, которое нужно вычесть из соответствующего частного делителя; так, если полный делитель равен 4156, а деление производится на 4 и если в частном найдены цифры 231, то поправка равна
1...5...6
1...3...2
1+15+12 = 28
В первоначально избранном делителе можно впоследствии, если остатки будут слишком малы, увеличить число цифр; в таком случае к исправленному остатку надо снести соответственные цифры делимого и опять ввести поправку, отвечающую новому делителю, а затем продолжать деление в том же порядке. Доказательство способа Фурье основывается на рассмотрении разрядов единиц, входящих в поправку.
3) Делителем целого числа А наз. целое число, на которое А делится без остатка.
Если В — делитель А, то все делители В будут делителями А, если же В есть число простое, то оно наз. простым делителем числа А. Для определения простых делителей А, вообще говоря, необходимо испытать, делится ли число А на простые числа, меньшие √a.
Пусть р1, p2... рm — простые делители А и пусть А других простых делителей не имеет; в таком случае А может быть представлено в виде А = p1l1 p2l2 ... pmlm,
(l1, l2,... lm — целые числа); такое представление возможно только одним образом.
Самое общее выражение для какого-нибудь делителя А будет
p1k1 p2k2... pmkm
где k1 < l1, k2 < l2,... km < lm.
Все делители числа А найдутся из произведения
(1 + p1 + p12 +... +p1l1)(1 + p2 +p22 +... + p2l2)...... (1 + pm + pm2 +... + pmlm)
и будут отдельными членами этого произведения.
Число N всех делителей числа А будет, следовательно, равно
N = (l1 + 1) (l2 + 1)... (lm + 1)
а сумма их S = самому произведению или (по формуле Безу)
S = [(p1l1+1 — 1)/p1 — 1][(p2l2+1 — 1)/p2 — 1]... [ (pmlm+1 — 1)/pm — 1]
Так, для числа 831600 = 24.33.52.7.11 число делителей N = 5.4.3.2.2 = 240, а сумма делителей S = 3690240.
4) Иногда возможно определить некоторых делителей числа А, не зная простых его делителей и не производя отдельных испытаний, по известным признакам делимости: так, напр., можно доказать, что на 2 делятся числа, последняя цифра которых — четная; на 3 — сумма цифр которых делится на 3; на 4 — две последних цифры которых делятся на 4; на 5 — последняя цифра которых 0 или 5; на 7 — если по разделении числа на грани, начиная справа, по три цифры в грани разность суммы четных и нечетных граней делится на 7; на 8 — если три последних знака делятся на 8; на 9 — если сумма цифр делится на 9; на 11 — если разность суммы цифр четного порядка и суммы цифр нечетного порядка, считая справа или слева, делится на 11; на 13 — если составленная указанным для 7 разность делится на 13 и т. д.
Доказательство приведенных признаков делимости на 3, 9, 7, 11 и 13 получаются из рассмотрении степеней 10, дающих при делении на эти числа остаток + 1.
С помощью указанных признаков можно прямо установить признаки делимости для произведений двух, трех и т. д. из приведенного выше взаимно простых чисел: напр., можно, не производя деления, доказать, что число 2646072 разделится на 10296=8.9.11.13; в самом деле: 72 делится на 8; 2+7+6+4+6+2=27 делится на 9, (2+0+4+2)—(7+6+6)=—11 делится на 11; (72+2)—(646)=—572 делится на 13; по указанным признакам отсюда следует, что самое число разделится на 8, 9, 11 и 13 и на их произведение.
Кроме того, имеется несколько отдельных теорем о делимости чисел; напр., если p число простое и а не делится на р, то всегда ар-1—1 разделится на p (теорема Fermat'a); далее, если p число простое, то 1.2.3.... (p—1)+1 всегда разделится на p (теорема Wilson'a), и т. д.
5) Общим делителем двух или нескольких чисел наз. число, на которое все данные числа делятся без остатка; самый большой из сих делителей назыв. общим наибольшим делителем. Если для чисел А и В известны все их простые делители, то, очевидно, возможно немедленно найти и их общий наибольший делитель. Но общий наибольший дел. можно найти с помощью конечного числа действий и не зная делителей чисел А и В. Доказательство положения дано еще Эвклидом («Начала», кн. 8, предл. 2), которому и принадлежит так наз. способ последовательного Д. для нахождения общего наибольшего Д. Если δ есть общий наибольший делитель чисел А и В, то всегда могут быть найдены два целых числа (>< 0) u и v таких, что: Au + Bv = δ.
Черт. 1
6. Понятия о делителе и общем делителе могут быть распространены и на полиномы; нахождение общих наибольших делителей двух полиномов также может быть достигнуто последовательным делением.
7) Разделить прямую AB в крайнем и среднем отношении значит разделить ее на 2 таких отрезка, чтобы отношение всей линии AB к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему. Из различных решений задачи здесь приводится построение, данное Эвклидом («Начала», кн. 2, пр. II): на данной линии AB строится квадрат ABFE; сторона АЕ квадрата делится пополам в точке D; на продолжении стороны АЕ откладывается DG = DB, на AG строится квадрат; точка C есть искомая.
Сторона правильного десятиугольника равна, как известно, большему отрезку радиуса, разделенному в крайнем и среднем отношении. Аналитически задача Д. прямой в крайнем и среднем отношении приводится к решению квадратного уравнения: если AB обозначить через a, a AC через x, то по условию:
а/х = x/(a-x), или x2 + ax — a2 = 0
откуда: x = a(±√5-1)/2; так как в задаче ищется положительное решение, то перед корнем должен быть удержан знак +.
8) Под задачей Д. всей окружности или какой-нибудь дуги ее на m равных частей разумеется нахождение такого геометрич. построения mной части окружности или дуги, которое основано на употреблении только циркуля и линейки (т. е. круга и прямой линии).
Задача Д. всей окружности на m частей равносильна, очевидно, с построением по заданному радиусу стороны правильного m-угольника. Еще Эвклидом («Начала», кн. IV) дано решение задачи при m = 3, 4, 5, 6 и 15; равным образом им же указана возможность по стороне правильного m-угольника построить сторону 2m-угольника; поэтому можно считать вопрос Д. окружности на 2nk (k = 3, 4, 5 и 15) частей решенным Эвклидом. Засим Вьет (1589 г., «Canon Mathematicus») привел задачу к решению уравнения, степени m (m нечетное) относительно стороны соответственного правильного многоугольника. — В настоящее время, после трудов Гаусса, вопрос представляется в следующем виде: Д. окружности на 2 m + 1 частей или построение угла, равного 2π/(2m+1), будет достигнуто, если будет найдено геометрическое построение для sinus’a или cosinus’a этого угла; величина
a = cos[2π/(2m+1)] + √-1 x sin[2π/(2m+1)]
на основании формулы Моавра (см.) есть один из корней уравнения
(x2m+1—1)/(x—1) = 0 (*);
все корни этого уравнения могут быть представлены как целые степени одного какого угодно из них. Геометрич. построение искомой величины с помощью заданных возможно тогда и только тогда, если эта величина выражается через заданный рационально или с помощью радикалов 2-го порядка (квадратных корней — см. в ст. «Число» геометрическое построение иррациональных чисел); поэтому возможность решения задачи зависит от того, выражается ли который-нибудь из корней уравнения указанным образом через коэффициенты уравнения (*). Исследуя последний вопрос, Гаусс в 1801 г. дал теорему: Д. окружности на 2m+1 равных частей возможно тогда и только тогда, если число 2m+1 разлагается на простые делители вида 2n+1 и если все эти делители различны между собою.
9) Геометрическое построение для Д. какой угодно дуги на 2 или вообще на 2n известно также еще с Эвклида; 
Черт. 2 Д. же дуги на три части (так наз. трисекция угла) служило предметом исследования многих древних и новых геометров; из множества предложенных решений укажем на решение с помощью квадратрисы Динострата (см. Динострат): чтобы угол mOA разделить на 3 части, достаточно разделить отрезок DO на 3 части и через последнее Д. провести линию, параллельную ОА до пересечения с квадратрисой в к. н. точке е; угол еОА равен 1/3 угла mOA. Однако как это решение, так и все прочие основываются на построении других, кроме круга и прямой линии, кривых и потому не удовлетворяют постановленной задаче; причина этих неудач кроется в самой невозможности ее: условия задачи, по существу, приводят на основании известной формулы тригонометрии cos 3a = 4 cos3a — 3 cosa, к решению уравнения
y3 — 3/4y — 1/4(α) = 0 (**)
где y = cos a, а α = cos 3a. Ванцель в 1837 г. (во 2-м томе «Journal de Lionville») показал, что неприводимое уравнение степени m (см. Уравнения) может быть решено в радикалах 2-го порядка тогда и только тогда, если m=2n. Так как при каком-нибудь α уравнение (**) неприводимо, то построение корней его с помощью циркуля и линейки (см. п. 8) вообще невозможно. В частном случае, когда α=0, уравнение (**) приводится к двум уравнениям у=0 или у2=3/4 и потому Д. на 3 части угла φ = (π/2)±kπ, cosinus которого равен 0, возможно; соответствующее построение дается в учебниках.