ЭСБЕ/Двучлен

Двучлен
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Давенпорт — Десмин. Источник: т. X (1893): Давенпорт — Десмин, с. 227—228 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Двучлен (мат.) — В добавление сказанного в ст. Бином (см.) заметим по поводу бинома Ньютона. Уже Вьетту было известно, что от возвышения Д. а + b в какую угодно целую положительную степень n получается формула вида

(1)	$\quad \left(a+b\right)^{n}=a^{n}+P_{1}\,a^{n-1}b+P_{2}\,a^{n-2}b^{2}+\dots +P_{n-1}\,ab^{n-1}+b^{n},$

‎где в правой части многочлен, состоящий из n+1 членов. В каждом из них сумма показателей над а и над b равна n. Кэффициенты же $P_{1},\,P_{2},\,\dots \,P_{n}$ — суть некоторые целые числа. Ньютон первый показал закон составления этих коэффициентов. Коэфф. Р_k оказывается равным числу сочетаний из n предметов по k (см. Сочетания), или, выражая это формулой

(2)	$\quad P_{k}={\frac {n\cdot \left(n-1\right)\cdot \dots \cdot \left(n-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot k}}.$

Уже Ньютон, а за ним и все остальные математики, между прочим Эйлер, рассматривали формулу, приведенную выше, также и для n дробных и отрицательных. В этих случаях $\left(a+b\right)^{n}$ представляется уже не в виде многочлена с n+1 членами, а в виде бесконечного ряда, начинающегося с членов

$a^{n}+P_{1}\,a^{n-1}b+P_{2}\,a^{n-2}b^{2}+\dots ,$

‎причем $P_{k}$ вычисляется по формуле (2) и может не быть целым числом. Бесконечные ряды употребляются лишь в том случае, когда эти ряды суть так назыв. сходящиеся (см. Ряд). Полагая ${\frac {b}{a}}=x,$ мы приходим к рассмотрению выражения $\left(1+x\right)^{n}$ или, другими словами, к нахождению суммы ряда

$1+{\frac {n}{1}}x+{\frac {n\left(n-1\right)}{1\cdot 2}}x^{2}+{\frac {n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{1\cdot 2\cdot 3}}x^{3}+\dots$

‎для всех значений х и n действительных или мнимых, для которых ряд сходящийся. Полное решение послднего вопроса представляет знаменитая работа норвежского математика Абеля: «Recherches sur la série $1+{\frac {m}{1}}\,x+\dots$» (см. журнал Crell'я, т. I, 1826). Ограничиваясь вещественными значениями х и m, замечаем, что формула

$1+n\,x+{\frac {n\left(n-1\right)}{1\cdot 2}}x^{2}+\dots$

1) при n целом и положительном справедлива, каково бы ни было значение x;

2) при n не равном целому и положительному числу имеет место при $-1<x<+1;$

3) при $x=+1$ имеет место, когда $m>-1;$

4) при $x=-1$ имеет место, когда $m>0.$

Бином Ньютона дает возможность вычислять корни по приближению. Например:

${\sqrt[{3}]{5}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{5\cdot 27}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{135}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{125+10}}={\frac {5}{3}}{\sqrt[{3}]{1+{\frac {2}{25}}}}=$ $=\left(1+{\frac {2}{25}}\right)^{\frac {1}{3}}=1+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{25}}+{\frac {{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{3}}-1\right)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {2^{2}}{25^{2}}}+{\frac {{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{3}}-1\right)\left({\frac {1}{3}}-2\right)}{1\cdot 2\cdot 3}}\cdot {\frac {2^{3}}{25^{3}}}+\cdots$

Вычисляя только написанные четыре члена, мы получим для ${\sqrt[{3}]{5}}$ число 1,70997858, в котором верны пять знаков после запятой.

Д. Граве.