Бинарное счисление — бинарная система нумерации, диадическая система, есть способ изображения всех чисел посредством двух только знаков по тому же принципу, по которому в обыкновенной системе нумерации употребляется для этой цели десять знаков. В общепринятой системе единица на первом месте направо означает 1, на втором месте 10, на третьем 100, т. е., 102 и т. д., вообще на n-ном месте 10n — 1. Точно так же в Б. системе единица на первом месте направо означает 1, на втором 2, на третьем 4, т. е. 22, на четвертом 8, т. е. 23 и т. д. Таким образом, Б. система довольствуется знаками 0 и 1 для изображения всех чисел. Ряд натуральных чисел от 1 до 20 будет
| напр.: | 1, | 10, | 11, | 100, | 101, | 110, | 1000, | 1001, |
| равно: | 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | 6, | 7, | 8; |
| напр.: | 1010, | 1011, | 1100, | 1101, | 1110, | 1111, |
| равно: | 9, | 10, | 11, | 12, | 13, | 14; |
| напр.: | 10000, | 10001, | 10010, | 10011, | 10100, | |
| равно: | 15, | 16, | 17, | 18, | 19;
| |
| напр.: | 10101, | |||||
| равно: | 20. |
Мысль о Б. системе принадлежит Лейбницу, который полагал, что при трудных исследованиях в теории чисел она может иметь большие преимущества перед десятичной системой. Кроме того, при всяких арифметических операциях действия над числами, написанными в бинарной системе, облегчаются в высшей степени. Иезуит Буве (Bouvet), миссионер в Китае, которому Лейбниц писал о своем изобретении, сообщил ему, что в Китае существует загадочная надпись, которую можно вполне объяснить бинарной системой. Надпись эта, которую приписывают императору Фо-ги, жившему в XXV веке до Р. X., основателю Китайской империи, покровителю наук и искусств, не могла быть объяснена китайскими учеными, которые считали ее не имеющей смысла. Она состоит из ряда длинных и коротких черточек. Если принять, что длинная черта означает 1, а короткая 0, то вся надпись оказывается просто рядом натуральных чисел, написанных по Б. системе. Вот эта надпись:
Практическое применение Б. системы затрудняется, во-первых, привычкой нашей к десятичной системе, приобретаемой с детства и, вероятно, отчасти унаследованной, и тем обстоятельством, что в Б. системе для означения даже небольших чисел требуется гораздо большее число цифр, чем в десятичной. Так, напр., 100 в десятичной системе будет изображаться 1100100 в бинарной, 1000 десятичной системы есть 1111101000 в бинарной и т. д.
Чтобы написать какое-нибудь число в Б. системе, должно делить его последовательно на 2 и писать подряд, справа налево, остатки от деления. Напр., чтобы написать 400 в Б. системе, делим это число на 2, первое частное 200, остаток 0, второе частное 100, остаток 0, третье частное 50, остаток 0, четвертое частное 25, остаток 0, пятое частное 12, остаток 1, шестое частное 6, остаток 0, седьмое частное 3, остаток 0, восьмое частное 1, остаток 1, девятое и последнее частное 0, остаток 1, и так 400 десятичной системы пишется 110010000 в бинарной.
Переход от числа, написанного в Б. системе, к десятичной, совершается простым сложением степеней числа 2, означенных в числе. Так, напр., число 110010000 в Б. системе есть сумма 8-й, 7-й и 4-й степени двух, т. е. 256, 128 и 16, т. е. 400, ибо, как сказано выше, единицы на различных местах в написанном числе означают разные степени 2-х, которые вместе составляют данное число.