ЭСБЕ/Бесселевы функции

Бесселевы функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Бергер — Бисы. Источник: т. IIIa (1891): Бергер — Бисы, с. 616—617 ( скан · индекс )


Бесселевы функции или цилиндрические функции, или цилиндрические гармоники — выражения, введенные в анализ и в особенности в небесную механику немецким астрономом Бесселем и потому носящие его имя. Во Франции еще раньше Бесселя подобные функции рассматривал Фурье в теории теплоты, и потому их называют также иногда еще функциями Фурье-Бесселя. Б. ф. можно ввести в рассмотрение весьма различным образом, смотря по той цели, к которой они применяются. Можно исходить из некоторых разложений в ряд тригонометрический, или по степеням независимой переменной, или из дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяют эти функции. Обозначая функции 0-го, 1-го, 2-го... порядка, как это общепринято, буквами имеем, например:

или

а дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют Б. функции n-го порядка, есть

Между тремя последовательными Б-ми функциями существует простое соотношение:

из которого явствует, что достаточно знать значения двух каких-нибудь из Б.-вых функций, напр. и чтобы можно было найти все остальные посредством простых арифметических операций. Отсюда же легко получить следующую непрерывную дробь, позволяющую вычислять с произвольной степенью точности значения какой угодно Б-вой функции:

Для этого стоит только положить откуда будет вообще а это непосредственно приводит к написанной непрерывной дроби. Б.-вы функции могут также быть представлены и притом несколькими способами в виде определенного интеграла, а именно:

или иначе

Разложенная в ряд Б-ва функция n-го порядка есть:

Определение Б.-вой функции посредством определенного интеграла или ряда может быть распространено и на случай нецелого значения показателя n с условием в последнем случае Так, напр., из интеграла получается:

Употребление функций Бесселя в анализе, в теории теплоты и в небесной механике основано на том, что многие разложения в ряд могут быть сделаны с удобством посредством именно этих функций. Так, напр., имеем:

Такие разложения в ряд играют важную роль в теории возмущений планетных движений. Эти же функции интегрируют в анализе известное дифференциальное уравнение Риккати. Заметим в заключение, что функции Бесселя можно рассмативать как частный случай функций Лежандра, или шаровых функций, или сферических гармоник, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению:

для случая а именно вводя новую переменную и новую функцию положениями

получим, полагая бесконечно большим, дифференциальное уравнение, удовлетворяемое Б.-ою функцией n-го порядка, написанное выше.

Литература. Работы самого Бесселя о функциях, носящих его имя, помещены в собрании его сочинений, изд. Энгельмана т. I. Затем специально Б.-м функциям посвящены труды: Неймана (Neumann), «Theorie der Bessel’schen Functionen»; Ломмеля (Lommel), «Studienüber die Bessel’schen Functionen». Весьма полное исследование этих функций можно найти в трактате Гейне (Heine) «Handbuch der Kugelfunctionen» (2-е изд.) и в более элементарном учебнике Тодгентера (Todhunter), «An elementary Treatise on the functions of Laplace, Laméand Bessel». Таблицы численных значений Б.-вых функций для практических приложений их находятся в работе Бесселя, в статье Гансена об определении абсолютных возмущений и подробнее других в специальных таблицах Мейсселя (Meissel).