ЭСБЕ/Ангармоническое отношение точек

Ангармоническое отношение точек
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Алтай — Арагвай. Источник: т. Ia (1890): Алтай — Арагвай, с. 722 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Ангармоническое отношение четырех точек $\mathrm {A,\,B,\,C,\,D}$ по одной прямой есть частное отношений расстояний двух из них от двух других, напр. $\mathrm {{\frac {CA}{CB}}:{\frac {DA}{DB}}} ;$ короче оно пишется $\mathrm {(AB\,CD)} ,$ или $\mathrm {{\frac {DA}{DB}}:{\frac {BA}{BC}}=(AC\,DB)} .$ Таких выражений можно составить 6. Главное значение А. отношения в теории подобия фигур происходит вследствие следующего свойства его: если пучок четырех прямых пересечен двумя трансверсалями, то А. отношение каждого ряда точек пересечения трансверсалей с лучами пучка постоянно. Это отношение называется поэтому А. отношением пучка. Если $\mathrm {O}$ — вершина пучка, то А. отношение его означается $\mathrm {(O.\,ABCD)} .$ Оно составляется из отношения синусов углов, заключенных между прямыми, а именно $\mathrm {(O.\,ABCD)=}$

$\mathrm {{\frac {\sin COA}{\sin COB}}:{\frac {\sin DOA}{\sin DOB}}} .$

Теоремы относительно А. отношения: А. отношение пучка, проходящего через четыре точки окружности круга, вершина которого лежит на той же окружности, постоянно. А. отношение ряда точек пересечения четырех постоянных касательных круга с произвольною пятою касательною — постоянно и равно А. отношению четырех точек касания относительно произвольной точки окружности и др.

Аналитически А. отношение пучка прямых $\mathrm {x_{1}=kx_{2}}$, $\mathrm {x_{1}=lx_{3}}$, $\mathrm {x_{1}=mx_{3}}$, $\mathrm {x_{1}=nx_{3}}$ есть

$\mathrm {{\frac {k-l}{n-l}}:{\frac {k-m}{n-m}}}$

Если А. отношение $=-1$, то оно приобретает название гармонического (см. это сл.). Вместо А. отношения его называют также двойным отношением (Doppelverhältniss). Ср. Шарль, «Traité de géométrie supérieure».