Анализ математический как самостоятельная система есть алгебра в обширном смысле этого слова, которая рассматривает все величины как неизвестные числа, употребляя буквы вместо арифметических знаков-цифр. Включая в математический А. учение о равенствах, составляющее предмет низшей алгебры, можно последнюю рассматривать как первую часть А., коего вторая часть, собственно А., занимается исследованием конечных и бесконечных величин. А. конечных величин, называемый также «Теорией функций», есть учение о формах величин и обнимает теории рядов, соединений, логарифмов, в то время как А. бесконечных величин, излагаемый обыкновенно под названием высшего А., состоит из трех главных частей: дифференциального, интегрального и вариационного исчислений. Основателями этих учений принимают обыкновенно Ньютона и Лейбница, но, собственно говоря, Эйлер впервые в своем «Introductio in analysim infinitorum» (1748) придал А. систематическую форму. А. древних математиков отличался от нового, современного нам А. тем, что у древних А. относился только к геометрии и состоял в применении аналитического метода к решению геометрических задач, причем искомое предполагалось найденным, исследовалось и после ряда логических рассуждений получалось либо подтверждение известного положения, либо отрицание его возможности. Обратный способ действий характеризует синтетический метод, то есть метод определения искомого путем определенного строения. Открытие геометрического А. приписывают почему-то Платону, хотя от него не дошло до нас никаких математических трактатов. В начале XVII столетия наступила цветущая эпоха для А. вообще и геометрического в частности; по примеру Ньютона А. начинают особенно заниматься английские математики, которые и возвели здание так наз. бесконечного А.
Чтобы сравнить А. с синтезом, прибавим, что в первом методе разлагают исследуемую истину на части, которые должны быть верны и между собою связаны, если данная задача верна, или эти составные части окажутся неверными и не связанными между собою, если задача математически неверна; при втором же методе на основании как-нибудь связанных между собою нескольких истин выводят новые, их объединяющие. Выражаясь фигурально, в А. идут от вершины к корню, а в синтезе — в обратном порядке. Поясним этот процесс примерами:
Задача I. Найти на сегменте данного круга ВСА такую точку С, чтобы проведенные от нее прямые СА и СВ до концов хорды AB находились в отношении M к N?
Анализ. Предположим, что искомая точка С найдена; проведя прямые СА и СВ, получим AC : BC = M : N (см. фиг. I). Если мы проведем еще прямую AD так, чтобы угол BAD равнялся углу АСВ, и продолжим ВС до D, то получим два треугольника АСВ и BAD с равными углами и, следовательно, подобные; отсюда составим пропорцию AC : BC : AD : AB; очевидно, AD : AB = M : N. В последней пропорции AB величина известная, а AD вполне определенная; на основании их можно дойти легко до решения данной задачи.
Синтез. Проводим из точки А прямую AD, которая с данной хордой AB даст угол BAD, равный тому углу, который может дать сегмент ВСА. Эта прямая должна быть четвертой пропорциональной прямым AB, M и N; находим прямую BD, которая пересечет окружность в искомой точке С. Для доказательства подобного построения поясним, что треугольники ABC и ABD подобны, так как угол В общий, а угол BAD по построению равен всем углам, которые может дать сегмент, следовательно, и углу ВСА. Из подобия треугольников выводим, что АС : BC = AD : АВ = M : N; таким образом, АС и ВС окажутся между собою в искомом отношении.
Задача II. В данный треугольник вписать квадрат?
Анализ. Пусть ABC данный треугольник (см. фигуру II). Предположим задачу решенною: DESG — вписанный квадрат. Проведем через точки А и E прямую АЕ до встречи в точке О с линиею СО, параллельною AB. Продолжим далее AB и опустим на нее перпендикуляр OJ из точки O; равным образом опустим из вершины С треугольника перпендикуляр СН, который будет высотою данного треугольника. Ясно, что треугольники АСО в ADE подобны, так же как и треугольники AOJ и AEF. Из подобия их выводим следующие пропорции: AE : AO = DE : CO и АЕ : АО; EF : OJ. B обеих пропорциях первые три члена равны, так как DE = EF, как стороны квадрата; следовательно, и СО равно OJ, или CO = OJ = CH. Итак, четырехугольник COJH будет квадратом, стороны которого равны высоте данного треугольника. Отсюда и определяется положение точки Е, на основании которой и решается задача.
Синтез. На высоте СH данного треугольника строим квадрат CHJO; соединяем точки А и О прямой АО. Из точки Е пересечения прямой АО и стороны треугольника СВ опускаем перпендикуляр EF на сторону AB и проводим ED, параллельную линии AB. Опустив из найденной точки D перпендикуляр DG, получаем искомый вписанный квадрат DEFG. Для доказательства подобного построения замечаем, что треугольники AED и AOC подобны, равно как и AEF и AOJ. Поэтому АО : АЕ = СО : DE и AO : AE = OJ : EF; но CO = OJ по построению; следовательно, DE и EF равны, а потому DE = EF = FG = DG, то есть фигура DEFG имеет все стороны равными и есть квадрат, вписанный в треугольник, что и требовалось построить.
Приведенных двух примеров достаточно для выяснения разницы методов анализа и синтеза в применении к математике.
