Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/97

82 § 23 обозначая рацюнальныя числа группы А черезъ а, группы А' черезъ а', получимъ сечете ЛА! въ области рацюнальныхъ чиселъ, каковое опре- д-Ьляетъ собою некоторое иррашональное число с; какъ и всякое ирра- цюнальное число оно непременно заключается либо въ групп-fc А, либо въ группе А'. Въ первомъ случай число <7 должно быть наибольшимъ среди чиселъ группы А; въ самомъ дълъ, если бы некоторое число а этой группы было больше числа с, то последнее было бы также меньше всякаго рацюнальнаго числа, заключеннаго между с и а, и содержащего- содержащегося поэтому еще въ группе А, а следовательно, и въ группъ А', но чи- число с" не можетъ быть меньше ни одного изъ чиселъ группы А. Такимъ образомъ, если только число g входитъ въ группу А, оно должно быть зд1;сь наибольшимъ. Такъ же можно доказать, что если число сг принадлежитъ группъ А', то оно должно быть въ ней наименьшимъ. Итакъ, мы заключаемъ, что въ сЬченш А/А' либо существуетъ наибольшее чис- число въ rpynnt А, либо наименьшее число въ группъ А'. § 23. Верхняя и нижняя граница. 1. Означимъ черезъ Г некоторый числовой комплексъ, элементы котораго суть рацюнальныя или иррацюнальныя числа т, т' . . . ; если все эти числа меньше некотораго числа /, то существуетъ одно и только одно число у, имеющее следукмщя два свойства: a) Каждое число комплекса Т меньше числа у или, по край- крайней мЕре, не превышаетъ у. b) Напротивъ, всякому числу с, которое меньше числа у, отвъчаетъ, по крайней мЕре, одно такое число т ком- комплекса V, которое заключается между числами ? и у, такъ что число т удовлетворяетъ услов!ю: ?<т<:у. A) Число у, существоваже котораго мы сейчасъ докажемъ, называется верхней границей числового комплекса 7. Короче его можно определить такъ: Верхней границей комплекса называется такое число, ко- котораго не превышаетъ ми одно число т этого комплекса, но сколь угодно близко къ которому имеются числа комплекса. Прежде всего легко усмотреть, что можетъ быть только одно га- кое число у. Въ самом ь делъ, допустимъ, чго такихъ чиселъ было бы два, напримеръ у и у', при чемъ у <^ у'; въ виду того, что число у' есть верх- верхняя граница, а число у меньше, нежели у', мы могли бы, согласно пункту bj, указать число ~, удовлетворяющее услов1ю у <""¦"-у', такъ что чис- число у, будучи меньше некотораго числа т нашего комплекса, не могло бы