Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/96

81 § 22. Если мы прппишемъ рацюнальнымь сЬчешямь числовыя значешя, равный производящимъ ихь рацюнальнымъ числамъ, то данный здЬсь опре- •гЪтешя равенства и неравенства совпадаютъ съ обычными: изъ двухъ рацюнальныхъ чисел ь первое меньше второго, если можно указать третье рацюнальное число, которое больше перваго и меньше второгой). В Ж с У С Fig. 3. Если дано сЪчеше _ / . /', то каждое число —а' меньше любого чи- числа —й обозначивъ совокупность чиселъ —а и —а' соответственно черезъ —_ / и—Л', получим ь новое сЬчеше—./'—./. Соответствующее число обозначается символомъ —а и называется иррацшнальнымь чнс- ломъ, про гивоположнымъ числу а. 7. Казалось бы, что, пользуясь принципомъ сЬченШ, можно полу- получить еще новаго рода числа: примЬрно, мы могли бы отнести къ одной rpynnt А совокупность рацюнальныхъ и иррашональныхъ чиселъ, меньшихъ числа а, а къ групп-Ь А' совокупность ращональныхъ и ирра- ц1ональныхъ чисель, не меньшихь числа а. Покажемъ, что, поступая такимъ образом ь, мы не расширяем ь поняля о числФ;, и что получаемыя указаинымь образомь сЬчен11 А'А' въ области иррациональных ь чи- чиселъ имЕюгъ так1я же численный значен1я, какъ сЪчешя въ области ра- 1иональныхь чиселъ, такъ что новыя сЬчен1я не обогащают ь пмЪющагося уже запаса чисель. ДЬйствигельно, пусть А А' означаегь ст,чен!е въ области ирращо- нальныхь чиселъ, такъ что каждое число а группы А меньше любого числа ¦*' группы А'. Чтобы показать, что такого рода сЪчеше не вызы- ваетъ потребности въ новаго рода числахъ, т. е. что оно производится какимъ-нибудь уже известным ь намъ числомъ, мы докажем ь, что либо въ группЪ А есть наибольшее число а, либо въ rpynnt А'есть наимень- наименьшее число с, гакъ что иррацюнальное число с и есть то, которымь про- производится сЪчеше А, А'. Всякое рашопальное число г, будучи частным ь случаемъ иррацю- пачышго числа, заключается либо въ группЬ А, либо же въ rpynnt A'; ") ЗдЕсь умЕсгно замЕтпть, что иррацюнальное число а больше любого чи- числа ч труппы I соотвЕтствующаго сЬчеш'я А, Л' и меньше любого числа а' груп- группы Л'. Боберъ, Энцикпоп. эломсит. апгеоры. к