51 § 16 Между делителями р1г р., р„ некоторые могутъ, конечно, повто- повторяться н1>сколько разъ; эти равные делители дають въ произведен!и сте- степень того же числа. Принимая поэтому, что между простыми делителями имеется тг равныхъ р. у. равныхъ q, p равныхъ /', и. т. д.,- мы можемъ представить разложеше C) въ такомъ видЬ hi — р~q/. ip .... D). Числа р, q, г мы здесь уже считаемъ различными, а тг -f- х 4" ?+¦¦•¦ = И- Отсюда уже легко вывести, что разложете можетъ быть произведено только однимъ способомь. Действительно, согласно предложенйо 1, число Ш, выражаемое произведешемь D), не можетъ делиться ни на какое простое число, кроме р, q, г ; сверхъ того, число р не может ь вхо- входить множигелемъ больше, чьмъ тс разъ; число q не можетъ входить множителемъ больше, чЕмъ р разъ. и т. д. 2). 3. Комплекс ь, состояний изь всехъ простыхъ чиселъ, без- конеченъ>:). Если бы комплексъ, содержаний все простыя числа, былъ конеченъ то должно было бы существовать наибольшее простое число. Итакъ, допустимъ. что ы представляешь наибольшее простое число. Въ такомь случае все простыя числа могутъ быть расположены въ возрастающемь порядке въ рядъ: 2, 3, 5, 7 со, оканчивающШся числомъ со. Соста- вивъ произведете всехъ этихъ чиселъ, прибавимъ къ нему 1: И . 2.3.5.7 .... со + 1. E) Зто число больше, нежели w, но не может ь делиться ни на одно изъ чиселъ нашего ряда; 2, 3, 5, 3 со, ибо при леленш на каждое изъ нихь получаемъ въ остатке 1. Поэтому сделанное допущеше, что имЕется наибольшее простое число, неправильно. Если мы примемъ въ выраженш E) за си какое-либо определенное простое число, го число 12 будеть больше, нежели со, но не можетъ дЕ- литься ни на одно простое число, меньшее, нежели to. Поэтому 12 либо должно быть простымъ числомъ, либо должно делиться на простое число, которое больше, чемь со. Въ действительности можетъ иметь место, какъ J) Частное т : р~ — qy-r? ; вслЕдсгае предложеш'я 1, оно уже не мо- можетъ дЕлиться на р. СлЕдовательно, другое разложение не можетъ содержать р въ болЕе высокой степени; но по той же причинЕ первое разложеше также не можетъ содержать число р въ болЕе высокой степени, чЕмъ второе
- j Это предложеше и его доказательство нмЕмтся уже у Евклида. „Е'егпеп-
te," Buch IX, № XX (Heiberg Bd. 2).
