Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/63

48 § 15 Если d есть обний наиболышй дътштель чиселъ а и /;, то всякШ общШ д'Ьлитель чиселъ а и b дътштъ также число d; поэтому всяюй об- щШ д'Ьлитель чиселъ a, b и с представляетъ собой также общаго дъли- теля чиселъ d и г, обратно, каждый общШ д'Ьлитель чиселъ d и с есть также обипй дълитель чиселъ a, b и с ВслЪдсгае этого общШ наиболь- luifi дълитель чиселъ a, b и с совпадае1ъ съ общимъ наибольшимъ дъ- ли телемъ чисел ь d и с. 5. Два числа, общдй наибольш!й дкштель которыхъ равень 1, на- называются взаимно простыми или первыми между собою. Говорятъ также, что таюя числа не имъютъ общихъ дълителей; при этомъ, конечно, не принимается въ счеть постоянный обпий д'Ьлитель 1. Такъ, взаимно- простыми числами являются, например ь, 3 и 7, 15 и 49, 105 и 128. KaKiH бы ни были даны два числа а и Ь, даже если они очень велики, можно ръшить сравнительно простымъ вычислешемъ, имъютъ ли они об- общих ь делителей или нЬтъ. 6. Если а и b суть числа первыя между собой, и число та, кратное G, дълится на Ь, то число т дълится на I). Въ справедливости этого предложетя нетрудно убъдиться при по- помощи алгориема A). Если а и b — а, суть числа первыя между собой, то Ь„ — 1. Соотвътствуюпп"! алгориемъ имъетъ въ этомъ случаъ такой видъ: G — qax -t- а.г Л| = '/i^-2 -Ь 'h B) Умножая o6t, части каждаго изъ этихъ равенствъ на т, мы получимь: та = (/ шах -j- пни mill = '/i'"'iri t" "hh C3) ша„--г - </«-4'»«?я-1 Г'" Если теперь та дълится на </,, то первое изъ этихъ равенствъ обнару- живаетъ, что и та., дЕлится на л,; вслЬдств1е этого второе равенство обнаруживавгь, что пШл дълится на л,; дальнъйш1я равенства послъдо- вательно обнаруживаютъ (въ силу совершенной индук1ии), что числа тах та„-, т д-Ьлятся на ai. Если d есть общ!й наиболыи!й дЕлитель чиселъ а и b и если а = da' и b bd D) то й' и /;' суть числа первыя между собой. Действительно, если-бы числа (/' и // имЬли общаго делителя с, отлично оть 1, то числа а и /; дъли- лись бы на dc,—что противно услов1Ю.