всегда отвѣчаетъ большее число; числа возрастаютъ слѣва направо, или, какъ часто говорятъ, въ положительномъ направленiи.
Тот же текст в современной орфографии
всегда отвечает большее число; числа возрастают слева направо, или, как часто говорят, в положительном направлении.
§ 12. Дѣйствiя надъ цѣлыми числами.
Надъ этими числами мы установимъ теперь нижеслѣдующiя правила дѣйствiй; при этомъ мы будемъ руководиться только тѣмъ основнымъ положенiемъ, чтобы установленныя уже дѣйствiя въ области натуральныхъ чиселъ представляли собою частные случаи вводимыхъ нами новыхъ болѣе общихъ правилъ и чтобы основные законы ариѳметическихъ дѣйствiй сохранили свою силу при этомъ обобщенiи.
1. Сложенiе. Пусть
и
будутъ два цѣлыхъ числа съ абсолютными величинами
и
; положимъ при этомъ, что
.
|
(1)
|
Въ такомъ случаѣ мы положимъ:
![{\displaystyle \alpha +\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a3619378c2479466961a105264040f213ef76) | , | если | ![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) | имѣетъ | знакъ | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) | , | а | ![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8) | имѣетъ | знакъ |
| ![{\displaystyle \alpha +\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a3619378c2479466961a105264040f213ef76) | ![{\displaystyle b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecca61f9c918fe1deb227ed79d4979d70c443ea4) | „ | „ | „ | „ | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) | | „ | „ | „ | „ |
| ![{\displaystyle \alpha +\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a3619378c2479466961a105264040f213ef76) | ![{\displaystyle -(b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d235df1d9799de5c8b8298813d45db700916cd9) | „ | „ | „ | „ | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) | | „ | „ | „ | „ |
| ![{\displaystyle \alpha +\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a3619378c2479466961a105264040f213ef76) | ![{\displaystyle -(b+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190784f7f167a05234532a7e29995dbcbeafbf25) | „ | „ | „ | „ | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) | | „ | „ | „ | „ |
|
|
(2)
|
[1]
|
(3)
|
Число
можетъ быть при этомъ отнесено произвольно къ положительнымъ или къ отрицательнымъ числамъ. Съ помощью ряда точекъ, приведеннаго въ § 11 (фиг. 1), правило сложенiя можно сдѣлать нагляднымъ.
Чтобы къ числу
прибавить число
, имѣющее абсолютную величину
, отсчитываемъ
точекъ въ положительномъ направленiи, начиная съ точки
, если
есть число положительное, и въ отрицательномъ направленiи, начиная съ точки
, если
есть число отрицательное; точка, къ которой мы такимъ образомъ придемъ, соотвѣтствуетъ числу
.
2. Вычитанiе. Полагая по прежнему
(1), мы положимъ
| | | Знаки чиселъ | ![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) | и | ![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8) |
| ![{\displaystyle \alpha -\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9836cb70870377fca13c9f0808126dd7909270) | ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) | ![{\displaystyle -(b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d235df1d9799de5c8b8298813d45db700916cd9) | | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) | | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
| | ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) | ![{\displaystyle -(a+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d965628a0600448f79f46b6c06b7a7b4c6acbc92) | | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) | | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
| | ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) | ![{\displaystyle a+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a) | | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) | | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
| | ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) | ![{\displaystyle b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecca61f9c918fe1deb227ed79d4979d70c443ea4) | | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) | | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
|
|
(4)
|
|
(5)
|
- ↑ Опредѣленiя, содержащiяся въ соотношенiяхъ (2), устанавливаютъ, что значитъ прибавить къ числу
число
, имѣющее такую же или большую абсо-
Тот же текст в современной орфографии
§ 12. Действия над целыми числами.
Над этими числами мы установим теперь нижеследующие правила действий; при этом мы будем руководиться только тем основным положением, чтобы установленные уже действия в области натуральных чисел представляли собою частные случаи вводимых нами новых более общих правил и чтобы основные законы арифметических действий сохранили свою силу при этом обобщении.
1. Сложение. Пусть
и
будут два целых числа с абсолютными величинами
и
; положим при этом, что
.
|
(1)
|
В таком случае мы положим:
![{\displaystyle \alpha +\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a3619378c2479466961a105264040f213ef76) | , | если | ![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) | имеет | знак | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) | , | а | ![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8) | имеет | знак |
| ![{\displaystyle \alpha +\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a3619378c2479466961a105264040f213ef76) | ![{\displaystyle b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecca61f9c918fe1deb227ed79d4979d70c443ea4) | „ | „ | „ | „ | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) | | „ | „ | „ | „ |
| ![{\displaystyle \alpha +\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a3619378c2479466961a105264040f213ef76) | ![{\displaystyle -(b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d235df1d9799de5c8b8298813d45db700916cd9) | „ | „ | „ | „ | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) | | „ | „ | „ | „ |
| ![{\displaystyle \alpha +\beta =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a3619378c2479466961a105264040f213ef76) | ![{\displaystyle -(b+a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190784f7f167a05234532a7e29995dbcbeafbf25) | „ | „ | „ | „ | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) | | „ | „ | „ | „ |
|
|
(2)
|
[1]
|
(3)
|
Число
может быть при этом отнесено произвольно к положительным или к отрицательным числам. С помощью ряда точек, приведённого в § 11 (фиг. 1), правило сложения можно сделать наглядным.
Чтобы к числу
прибавить число
, имеющее абсолютную величину
, отсчитываем
точек в положительном направлении, начиная с точки
, если
есть число положительное, и в отрицательном направлении, начиная с точки
, если
есть число отрицательное; точка, к которой мы таким образом придём, соответствует числу
.
2. Вычитание. Полагая по-прежнему
(1), мы положим
| | | Знаки чисел | ![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) | и | ![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8) |
| ![{\displaystyle \alpha -\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9836cb70870377fca13c9f0808126dd7909270) | ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) | ![{\displaystyle -(b-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d235df1d9799de5c8b8298813d45db700916cd9) | | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) | | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
| | ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) | ![{\displaystyle -(a+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d965628a0600448f79f46b6c06b7a7b4c6acbc92) | | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) | | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
| | ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) | ![{\displaystyle a+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2391acf09244b9dba74eb940e871a6be7e7973a) | | ![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) | | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
| | ![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) | ![{\displaystyle b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecca61f9c918fe1deb227ed79d4979d70c443ea4) | | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) | | ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
|
|
(4)
|
|
(5)
|
- ↑ Определения, содержащиеся в соотношениях (2), устанавливают, что значит прибавить к числу
число
, имеющее такую же или большую абсо-