Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/39

2. Итакъ, если $A$ и $B$ суть конечные комплексы, не имѣющiе общихъ элементовъ, а $a$ и $b$ суть ихъ числа, то комплексу $A+B$ также отвѣчаетъ опредѣленное число, которое мы будемъ обозначать символомъ $a+b$ и называть суммою чиселъ $a$ и $b$. Это число $a+b$ не мѣняется, если мы замѣним комплексы $A$ и $B$ другими комплексами $A'$ и $B'$ той же мощности. Въ самомъ дѣлѣ, каждое однозначное соотвѣтствiе, связывающее комплексъ $A$ съ комплексомъ $A'$ и комплексъ $B$ съ $B'$, устанавливаетъ также однозначное соотвѣтствiе между комплексами $A+B$ и $A'+B'$. Слѣдовательно, чтобы определить число $a+b$, мы можемъ воспользоваться любыми представителями чиселъ $a$ и $b$, напр. пальцами руки, монетами; вообще другого пути для этой цѣли не существуетъ. Съ ранняго дѣтства мы запечатлѣваемъ въ своей памяти результаты образованiя суммы для небольшихъ чиселъ и во всякiй моментъ можемъ ими воспользоваться при надобности. Наша индiйская система счисленiя имѣетъ то преимущество, что намъ достаточно знать результаты для немногихъ случаевъ, когда $a$ и $b$ взяты изъ ряда чиселъ $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

Образованiе суммы называютъ также сложенiемъ или складыванiемъ. Относительно сложенiя, на основанiи предыдущего, легко вывести слѣдующiя основныя предложенiя.

3. Въ § 2, 5 мы видѣли, что

$A+B=B+A$

$(A+B)+C=A+(B+C)$

каковы бы ни были комплексы $A$, $B$ и $C$. Если мы примѣнимъ это соотношенiе къ тому случаю, когда $A$, $B$ и $C$ представляютъ собой конечные комплексы, не имѣющiе общихъ элементовъ, и обозначимъ черезъ $a$, $b$ и $c$ соотвѣтствующiя имъ числа, то мы отсюда получимъ:

$a+b=b+a$,

(1)

(2)

Естественно, что числа $a$, $b$ и $c$ не должны быть необходимо различны. Первое изъ этихъ соотношенiй выражаетъ, что сумма не зависитъ отъ порядка сложенiя и называется перемѣстительнымъ или коммутативнымъ закономъ. Второе соотношенiе выражаетъ, что для сложенiя трехъ чиселъ можно сначала составить сумму любыхъ двухъ изъ нихъ и къ послѣдней прибавить третье число. Это можетъ быть выполнено тремя способами, которые всѣ даютъ одинъ и тотъ же результатъ. Это соотношенiе извѣстно подъ названiемъ сочетательнаго или ассоцiативнаго закона.

Эти законы допускаютъ еще значительное обобщенiе. Если $A$, $B$, $C$ ... $N$ суть произвольные комплексы въ конечномъ числѣ, то существуетъ

Тот же текст в современной орфографии

2. Итак, если $A$ и $B$ суть конечные комплексы, не имеющие общих элементов, а $a$ и $b$ суть их числа, то комплексу $A+B$ также отвечает определённое число, которое мы будем обозначать символом $a+b$ и называть суммою чисел $a$ и $b$. Это число $a+b$ не меняется, если мы заменим комплексы $A$ и $B$ другими комплексами $A'$ и $B'$ той же мощности. В самом деле, каждое однозначное соответствие, связывающее комплекс $A$ с комплексом $A'$ и комплекс $B$ с $B'$, устанавливает также однозначное соответствие между комплексами $A+B$ и $A'+B'$. Следовательно, чтобы определить число $a+b$, мы можем воспользоваться любыми представителями чисел $a$ и $b$, напр. пальцами руки, монетами; вообще другого пути для этой цели не существует. С раннего детства мы запечатлеваем в своей памяти результаты образования суммы для небольших чисел и во всякий момент можем ими воспользоваться при надобности. Наша индийская система счисления имеет то преимущество, что нам достаточно знать результаты для немногих случаев, когда $a$ и $b$ взяты из ряда чисел $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

Образование суммы называют также сложением или складыванием. Относительно сложения, на основании предыдущего, легко вывести следующие основные предложения.

3. В § 2, 5 мы видели, что

$A+B=B+A$

$(A+B)+C=A+(B+C)$

каковы бы ни были комплексы $A$, $B$ и $C$. Если мы применим это соотношение к тому случаю, когда $A$, $B$ и $C$ представляют собой конечные комплексы, не имеющие общих элементов, и обозначим через $a$, $b$ и $c$ соответствующие им числа, то мы отсюда получим:

$a+b=b+a$,

(1)

(2)

Естественно, что числа $a$, $b$ и $c$ не должны быть необходимо различны. Первое из этих соотношений выражает, что сумма не зависит от порядка сложения и называется переместительным или коммутативным законом. Второе соотношение выражает, что для сложения трёх чисел можно сначала составить сумму любых двух из них и к последней прибавить третье число. Это может быть выполнено тремя способами, которые все дают один и тот же результат. Это соотношение известно под названием сочетательного или ассоциативного закона.

Эти законы допускают ещё значительное обобщение. Если $A$, $B$, $C$ ... $N$ суть произвольные комплексы в конечном числе, то существует