надъ различными вопросами гидростатики и гидродинамики, въ особенности заинтересовался однимъ гидростатическимъ вопросомъ, предложеннымъ ему П. Л. Чебышевымъ.
Вопросъ этотъ, предлагавшійся ранѣе Чебышевымъ другимъ ученымъ, какъ, напр., Е. И. Золотареву и С. В. Ковалевской, представлялъ большія теоретическія трудности. Но Чебышевъ говорилъ, что только такими вопросами и стоить заниматься, если начинающій ученый желаетъ, чтобы на его работы обратили серьёзное вниманіе. Это послѣднее обстоятельство побудило Ляпунова съ особеннымъ увлеченіемъ заниматься вопросомъ Чебышева, — тѣмъ болѣе, что Чебышевъ не далъ никакихъ указаній для его рѣшенія, такъ что предстояло испытать свои силы вполнѣ самостоятельно. Однако, вскорѣ-же Л. встрѣтилъ столь большія затрудненія, что долженъ былъ отложить занятія этимъ вопросомъ до болѣе поздняго времени, и только двадцать лѣтъ спустя, получивъ, наконецъ, необходимый досугъ вслѣдствіе избранія его въ Академію, онъ могъ возвратиться къ этому вопросу, который и былъ имъ окончательно разрѣшенъ въ мемуарѣ „Sur les figures d’équilibre peu différentes des ellipsoïdes etc.“
Но и въ то раннее время занятія вопросомъ Чебышева не пропали даромъ, ибо навели Л. на другой вопросъ, представившій хорошую тему для магистерской его диссертаціи. Напечатавъ эту диссертацію въ 1884 г., Л., по защитѣ ея въ январѣ 1885 г., получилъ ученую степень магистра прикладной математики. Весною того-же года онъ получилъ званіе приватъ-доцента, предполагаясь осени открыть въ Петербургскомъ Университетѣ курсъ теоріи потенціала; но, не приступая къ чтенію этого курса, Л. въ августѣ перешелъ съ тѣмъ-же званіемъ въ Харьковскій Университетъ, на вакантную каѳедру механики. Здѣсь въ первое время ученая дѣятельность Л. должна была перерваться, такъ какъ ему, безъ всякаго предварительнаго опыта, пришлось взять на себя чтеніе лекцій по всѣмъ относящимся къ каѳедрѣ отдѣламъ науки. Приходилось вырабатывать курсы и составлять записки для студентовъ, что отнимало очень много времени. Вслѣдствіе этого, только черезъ пять лѣтъ онъ могъ приступить къ печатанію докторской диссертаціи. Окончивъ печатаніе въ 1892 году, онъ представилъ диссертацію въ Московскій Университетъ, гдѣ, по защитѣ ея, и получилъ ученую степень доктора прикладной математики. Вслѣдъ затѣмъ, въ январѣ 1893 г., Л. получилъ званіе ординарнаго профессора Харьковскаго Университета, гдѣ продолжалъ затѣмъ чтеніе лекцій до весны 1902 г.
Въ университетѣ, кромѣ общаго и спеціальныхъ курсовъ теоретической механики, Л. одно время читалъ курсъ интегрированія каноническихъ дифференціальныхъ уравненій и дифференціальныхъ уравненій съ частными производными перваго порядка, а въ послѣдніе годы пребыванія въ Харьковѣ — также и теорію вѣроятностей. Кромѣ Университета, Л. одно время (съ 1887 по 1893 г.) читалъ лекціи аналитической механики въ Харьковскомъ Технологическомъ Институтѣ.
Вступивъ тотчасъ-же по переѣздѣ въ Харьковъ въ члены Харьковскаго Математическаго Общества, Л. долгое время былъ Товарищемъ Предсѣда-
