Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/2

Понятно, что послѣ изученныхъ еще Гауссомъ двучленныхъ уравненій стояло на очереди изученіе уравненій трехчленныхъ. Изученіе этихъ уравненій, начатое англійскими математиками: Гарлеемъ, Кели и Булемъ, было въ сравнительно недавнее время вполнѣ завершено профессоромъ П. А. Некрасовымъ.

Гарлей впервые обнаружилъ то свойство корней трехчленнаго уравненія, что они суть частные интегралы такъ называемыхъ двучленныхъ линейныхъ дифференціальныхъ уравненій^[1]. Это обстоятельство интересно, между прочимъ, потому, что двучленныя линейныя дифференціальныя уравненія 2-го порядка—суть гипергеометрическія.

Рядомъ съ изученіемъ трехчленныхъ уравненій шло изученіе алгебраическихъ уравненій, появляющихся въ теоріи преобразованія эллиптическихъ функцій: уравненій модулярныхъ и уравненій множителя^[2]. Эти замѣчательныя уравненія были найдены Якоби, въ честь котораго одинъ изъ классовъ относящихся сюда уравненій получилъ названіе класса уравненій Якоби (названіе, предложенное Бріоски).

1. Необходимо замѣтить, что Ланденъ еще въ 1755 году обратилъ вниманіе на то дифференціальное уравненіе, которому удовлетворяютъ корни кубичнаго уравненія: $q=-(x^{2}-px)$

   ‎и изъ него получилъ формулу Кардана.

2. Извѣстно, что дифференціальное уравненіе: ${\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})(1-\lambda ^{2}y^{2})}}}={\frac {Mdx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\lambda ^{2}x^{2})}}}$

   ‎только въ томъ случаѣ имѣетъ раціональный алгебраическій интегралъ вида:

   $y={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},$

   ‎когда $\lambda$ и $M$ суть нѣкоторыя алгебраическія функціи модуля $k$.

   ‎Уравненіе, связывающее между собою модули $\lambda$ и $k$, называется модулярнымъ, а уравненіе, связывающее множитель $M$ съ модулемъ $k$ называется уравненіемъ множителя.

Тот же текст в современной орфографии

Понятно, что после изученных еще Гауссом двучленных уравнений стояло на очереди изучение уравнений трехчленных. Изучение этих уравнений, начатое английскими математиками: Гарлеем, Кэли и Булем, было в сравнительно недавнее время вполне завершено профессором П. А. Некрасовым.

Гарлей впервые обнаружил то свойство корней трехчленного уравнения, что они суть частные интегралы так называемых двучленных линейных дифференциальных уравнений^[1]. Это обстоятельство интересно, между прочим, потому, что двучленные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка — суть гипергеометрические.

Рядом с изучением трехчленных уравнений шло изучение алгебраических уравнений, появляющихся в теории преобразования эллиптических функций: уравнений модулярных и уравнений множителя^[2]. Эти замечательные уравнения были найдены Якоби, в честь которого один из классов относящихся сюда уравнений получил название класса уравнений Якоби (название, предложенное Бриоски).

1. Необходимо заметить, что Ланден еще в 1755 году обратил внимание на то дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют корни кубичного уравнения: $q=-(x^{2}-px)$

   ‎и из него получил формулу Кардано.

2. Известно, что дифференциальное уравнение: ${\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})(1-\lambda ^{2}y^{2})}}}={\frac {Mdx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\lambda ^{2}x^{2})}}}$

   ‎только в том случае имеет рациональный алгебраический интеграл вида:

   $y={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},$

   ‎когда $\lambda$ и $M$ суть некоторые алгебраические функции модуля $k$.

   ‎Уравнение, связывающее между собой модули $\lambda$ и $k$, называется модулярным, а уравнение, связывающее множитель $M$ с модулем $k$ называется уравнением множителя.