Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/175

Выполнимъ эти вычисленія для первыхъ нормальныхъ группъ, найденныхъ въ настоящей главѣ.

Въ результатѣ мы найдемъ такія выраженія основныхъ подстановокъ конечныхъ группъ бинарныхъ линейныхъ подстановокъ:

Группа двупирамидная.

$\sigma ={\begin{pmatrix}e^{\frac {\pi i}{m}},&0\\0,&e^{-{\frac {\pi i}{m}}}\end{pmatrix}},\;\tau ={\begin{pmatrix}0,&i\\i,&0\end{pmatrix}}.$

(91)

Группа тетраэдрическая.

$\sigma ={\begin{pmatrix}{\dfrac {e^{-{\frac {\pi i}{4}}}}{\sqrt {2}}},&{\dfrac {e^{\frac {3\pi i}{4}}}{\sqrt {2}}}\\{\dfrac {e^{\frac {\pi i}{4}}}{\sqrt {2}}},&{\dfrac {e^{\frac {\pi i}{4}}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\;\tau ={\begin{pmatrix}i,&0\\0,&-i\end{pmatrix}}.$

(92)

Группа октаэдрическая.

$\sigma ={\begin{pmatrix}e^{\frac {\pi i}{4}},&0\\0,&e^{-{\frac {\pi i}{4}}}\end{pmatrix}},\;\tau ={\begin{pmatrix}-{\dfrac {i}{\sqrt {2}}},&{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\\{\dfrac {i}{\sqrt {2}}},&{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}.$

(93)

Группа икосаэдрическая.

$\sigma ={\begin{pmatrix}-\varepsilon ^{3},&0\\0,&-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}},\;\tau ={\begin{pmatrix}-{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}},&{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\\{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}},&{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}},$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.$

(94)

Тот же текст в современной орфографии

Выполним эти вычисления для первых нормальных групп, найденных в настоящей главе.

В результате мы найдем такие выражения основных подстановок конечных групп бинарных линейных подстановок:

Группа двупирамидная.

$\sigma ={\begin{pmatrix}e^{\frac {\pi i}{m}},&0\\0,&e^{-{\frac {\pi i}{m}}}\end{pmatrix}},\;\tau ={\begin{pmatrix}0,&i\\i,&0\end{pmatrix}}.$

(91)

Группа тетраэдрическая.

$\sigma ={\begin{pmatrix}{\dfrac {e^{-{\frac {\pi i}{4}}}}{\sqrt {2}}},&{\dfrac {e^{\frac {3\pi i}{4}}}{\sqrt {2}}}\\{\dfrac {e^{\frac {\pi i}{4}}}{\sqrt {2}}},&{\dfrac {e^{\frac {\pi i}{4}}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\;\tau ={\begin{pmatrix}i,&0\\0,&-i\end{pmatrix}}.$

(92)

Группа октаэдрическая.

$\sigma ={\begin{pmatrix}e^{\frac {\pi i}{4}},&0\\0,&e^{-{\frac {\pi i}{4}}}\end{pmatrix}},\;\tau ={\begin{pmatrix}-{\dfrac {i}{\sqrt {2}}},&{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\\{\dfrac {i}{\sqrt {2}}},&{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}.$

(93)

Группа икосаэдрическая.

$\sigma ={\begin{pmatrix}-\varepsilon ^{3},&0\\0,&-\varepsilon ^{2}\end{pmatrix}},\;\tau ={\begin{pmatrix}-{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}},&{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}}\\{\dfrac {\varepsilon ^{2}-\varepsilon ^{3}}{\sqrt {5}}},&{\dfrac {\varepsilon -\varepsilon ^{4}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}},$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{5}}.$

(94)