Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/173

III. Пусть группа $G$ тетраэдрическая, октаэдрическая или икосаэдрическая.

Мы уже видѣли выше, что въ составъ каждой изъ этихъ группъ входитъ группа четверичная, то есть двупирамидная, порядка

$2m=2.2.$

‎Эта четверичная группа на основаніи только что полученнаго результата не можетъ быть изоморфна соотвѣтствующей ей группѣ бинарныхъ линейныхъ подстановокъ.

Если такъ, то и вся группа $G$ не можетъ быть изоморфна группѣ $\Gamma$.

Этотъ послѣдній результатъ можно формулировать въ видѣ такой теоремы:

Теорема 4. Группы бинарныхъ подстановокъ тетраэдрическаго, октаэдрическаго и икосаэдрическаго типовъ не могутъ быть изоморфны группамъ соотвѣтствующихъ имъ неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ.

Теорема эта принадлежитъ Клейну^[1] и имѣетъ важное значеніе для изучаемыхъ нами уравненій.

Пользуясь теоремой 4, мы можемъ нѣсколько пополнить результаты [[../../Глава I/ДО|главы I]].

Мы знаемъ изъ [[../../Глава I/ДО#Теорема 8|теоремы 8]] [[../../Глава I/ДО|главы I]], что существуетъ группа бинарныхъ линейныхъ подстановокъ съ опредѣлителемъ равнымъ 1, связывающая между собою корни уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]) [[../../Глава I/ДО|главы I]].

Порядокъ этой группы равенъ степени $n$ уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]) [[../../Глава I/ДО|главы I]]. Подстановки этой группы выражаютъ каждый корень уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]) черезъ два корня того же уравненія.

Далѣе, изъ [[../../Глава I/ДО#Теорема 22|теоремы 22]] [[../../Глава I/ДО|главы I]] мы знаемъ, что отношенія корней уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq20|20]]) служатъ корнями уравненія ([[../../Глава I/ДО#Eq95|95]]) степени $N$, при чемъ $N$ равно $n$ или ${\frac {n}{2}}$. Уравненіе ([[../../Глава I/ДО#Eq95|95]]) [[../../Глава I/ДО|главы I]]

1. Vorlesungen über das Ikosaeder. Стр. 46.

Тот же текст в современной орфографии

III. Пусть группа $G$ тетраэдрическая, октаэдрическая или икосаэдрическая.

Мы уже видели выше, что в состав каждой из этих групп входит группа четверичная, то есть двупирамидная, порядка

$2m=2\cdot 2.$

‎Эта четверичная группа на основании только что полученного результата не может быть изоморфна соответствующей ей группе бинарных линейных подстановок.

Если так, то и вся группа $G$ не может быть изоморфна группе $\Gamma$.

Этот последний результат можно формулировать в виде такой теоремы:

Теорема 4. Группы бинарных подстановок тетраэдрического, октаэдрического и икосаэдрического типов не могут быть изоморфны группам соответствующих им неоднородных линейных подстановок.

Теорема эта принадлежит Клейну^[1] и имеет важное значение для изучаемых нами уравнений.

Пользуясь теоремой 4, мы можем несколько пополнить результаты главы I.

Мы знаем из теоремы 8 главы I, что существует группа бинарных линейных подстановок с определителем равным 1, связывающая между собой корни уравнения (20) главы I.

Порядок этой группы равен степени $n$ уравнения (20) главы I. Подстановки этой группы выражают каждый корень уравнения (20) через два корня того же уравнения.

Далее, из теоремы 22 главы I мы знаем, что отношения корней уравнения (20) служат корнями уравнения (95) степени $N$, причем $N$ равно $n$ или ${\frac {n}{2}}$. Уравнение (95) главы I

1. Vorlesungen über das Ikosaeder. Стр. 46.