Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/172

‎откуда:

$\rho ^{m}=1,\;\rho '^{\,2}=1.$

(83)

‎Въ группу $G$ входитъ подстановка 2-го порядка $S{\mathfrak {T}}$:

$S{\mathfrak {T}}(u)={\frac {\varepsilon }{u}}.$

(84)

‎Соотвѣтствующая ей подстановка $\sigma \tau$ тоже должна быть втораго порядка:

$(\sigma \tau )^{2}={\begin{pmatrix}0,&\rho \rho '\varepsilon \\\rho \rho ',&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}\rho ^{2}\rho '^{\,2}\varepsilon ,&0\\0,&\rho ^{2}\rho '^{\,2}\varepsilon \end{pmatrix}}=1,$

(85)

‎откуда:

$\rho ^{2}\rho '^{\,2}\varepsilon =1.$

(86)

‎Изъ равенствъ (83) и (86) слѣдуетъ:

$\rho ^{2}=e^{-{\frac {2\pi i}{m}}},$

(87)

‎откуда:

$\rho =\pm e^{-{\frac {\pi i}{m}}},$

(88)

‎и далѣе:

$\rho ^{m}=-(\pm 1)^{m}.$

(88)

‎Ясно, что послѣднее равенство не противорѣчитъ первому изъ равенствъ (83) только въ томъ случаѣ, если $m$ нечетно и если, кромѣ того, въ формулѣ (88) взятъ нижній знакъ. Въ такомъ случаѣ имѣемъ:

$\rho =-e^{-{\frac {\pi i}{m}}}.$

(90)

‎Итакъ, двупирамидная группа бинарныхъ линейныхъ подстановокъ только въ томъ случаѣ можетъ быть изоморфна соотвѣтствующей ей группѣ неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ, если порядокъ этой группы есть число вида:

$2m=2(2p+1).$

Тот же текст в современной орфографии

‎откуда:

$\rho ^{m}=1,\;\rho '^{\,2}=1.$

(83)

‎В группу $G$ входит подстановка 2-го порядка $S{\mathfrak {T}}$:

$S{\mathfrak {T}}(u)={\frac {\varepsilon }{u}}.$

(84)

‎Соответствующая ей подстановка $\sigma \tau$ тоже должна быть второго порядка:

$(\sigma \tau )^{2}={\begin{pmatrix}0,&\rho \rho '\varepsilon \\\rho \rho ',&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}\rho ^{2}\rho '^{\,2}\varepsilon ,&0\\0,&\rho ^{2}\rho '^{\,2}\varepsilon \end{pmatrix}}=1,$

(85)

‎откуда:

$\rho ^{2}\rho '^{\,2}\varepsilon =1.$

(86)

‎Из равенств (83) и (86) следует:

$\rho ^{2}=e^{-{\frac {2\pi i}{m}}},$

(87)

‎откуда:

$\rho =\pm e^{-{\frac {\pi i}{m}}},$

(88)

‎и далее:

$\rho ^{m}=-(\pm 1)^{m}.$

(88)

‎Ясно, что последнее равенство не противоречит первому из равенств (83) только в том случае, если $m$ нечетно и если, кроме того, в формуле (88) взят нижний знак. В таком случае имеем:

$\rho =-e^{-{\frac {\pi i}{m}}}.$

(90)

‎Итак, двупирамидная группа бинарных линейных подстановок только в том случае может быть изоморфна соответствующей ей группе неоднородных линейных подстановок, если порядок этой группы есть число вида:

$2m=2(2p+1).$