Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/170

Эта страница не была вычитана

Возьмемъ группу $\Gamma$ бинарныхъ линейныхъ подстановокъ, найдемъ соотвѣтствующія имъ неоднородныя линейныя подстановки. Эти послѣднія, конечно, образуютъ нѣкоторую группу $G$ неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ.

Если порядокъ группы $\Gamma$ конечный, то и порядокъ группы $G$ будетъ конечный. Эта группа будетъ принадлежать къ одному изъ типовъ: циклическому, двупирамидному, тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому.

Посмотримъ, могутъ ли быть группы $\Gamma$ и $G$ изоморфны между собою.

Для простоты мы можемъ предполагать группу $G$ приведенною къ нормальному виду^[1].

I. Пусть $G$ группа циклическая и пусть она изоморфна соотвѣтствующей ей группѣ $\Gamma$ .

Группа $G$ составлена изъ одной основной подстановки:

$S(u)=\varepsilon u,$ гдѣ $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{m}}.$

(66)

‎Соотвѣтствующая ей основная бинарная подстановка группы $\Gamma$ такова:

${\begin{pmatrix}\rho \varepsilon ,&0\\0,&\rho \end{pmatrix}},$

(73)

‎гдѣ $\rho$ —нѣкоторый постоянный множитель.

Такъ какъ

$S^{m}=1,$

(74)

‎то должно имѣть мѣсто символическое равенство:

↑ Всякую группу $G$ неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ можно преобразовать въ нормальную группу того же типа.
‎Въ самомъ дѣлѣ, построимъ сѣть, соотвѣтствующую группѣ $G$ и нормальную сѣть того же типа. Эти сѣти, какъ мы знаемъ, эквивалентны между собою. Пусть подстановка, преобразующая первую сѣть во вторую, есть $\Sigma$ . Преобразуя группу $G$ подстановкою $\Sigma$ , мы получаемъ нормальную группу, соотвѣтствующую взятой нами нормальной сѣти.

Тот же текст в современной орфографии

Возьмем группу $\Gamma$ бинарных линейных подстановок, найдем соответствующие им неоднородные линейные подстановки. Эти последние, конечно, образуют некоторую группу $G$ неоднородных линейных подстановок.

Если порядок группы $\Gamma$ конечный, то и порядок группы $G$ будет конечный. Эта группа будет принадлежать к одному из типов: циклическому, двупирамидному, тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому.

Посмотрим, могут ли быть группы $\Gamma$ и $G$ изоморфны между собой.

Для простоты мы можем предполагать группу $G$ , приведенной к нормальному виду^[1].

I. Пусть $G$ группа циклическая и пусть она изоморфна соответствующей ей группе $\Gamma$ .

Группа $G$ составлена из одной основной подстановки:

$S(u)=\varepsilon u,$ где $\varepsilon =e^{\frac {2\pi i}{m}}.$

(66)

‎Соответствующая ей основная бинарная подстановка группы $\Gamma$ такова:

${\begin{pmatrix}\rho \varepsilon ,&0\\0,&\rho \end{pmatrix}},$

(73)

‎где $\rho$ — некоторый постоянный множитель.

Так как

$S^{m}=1,$

(74)

‎то должно иметь место символическое равенство:

↑ Всякую группу $G$ неоднородных линейных подстановок можно преобразовать в нормальную группу того же типа.
‎В самом деле, построим сеть, соответствующую группе $G$ и нормальную сеть того же типа. Эти сети, как мы знаем, эквивалентны между собой. Пусть подстановка, преобразующая первую сеть во вторую, есть $\Sigma$ . Преобразуя группу $G$ подстановкой $\Sigma$ , мы получаем нормальную группу, соответствующую взятой нами нормальной сети.

[1] Всякую группу $G$ неоднородныхъ линейныхъ подстановокъ можно преобразовать въ нормальную группу того же типа.
‎Въ самомъ дѣлѣ, построимъ сѣть, соотвѣтствующую группѣ $G$ и нормальную сѣть того же типа. Эти сѣти, какъ мы знаемъ, эквивалентны между собою. Пусть подстановка, преобразующая первую сѣть во вторую, есть $\Sigma$ . Преобразуя группу $G$ подстановкою $\Sigma$ , мы получаемъ нормальную группу, соотвѣтствующую взятой нами нормальной сѣти.

[2] Всякую группу $G$ неоднородных линейных подстановок можно преобразовать в нормальную группу того же типа.
‎В самом деле, построим сеть, соответствующую группе $G$ и нормальную сеть того же типа. Эти сети, как мы знаем, эквивалентны между собой. Пусть подстановка, преобразующая первую сеть во вторую, есть $\Sigma$ . Преобразуя группу $G$ подстановкой $\Sigma$ , мы получаем нормальную группу, соответствующую взятой нами нормальной сети.

[1]

[1]