Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/165

$\left.{\begin{array}{l}S_{\text{и}}^{k}(u)=\varepsilon ^{k}u,\;S_{\text{и}}^{k}U_{\text{и}}(u)=-{\dfrac {\varepsilon ^{k}}{u}},\\S_{\text{и}}^{k}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}^{h}(u)=\varepsilon ^{k}{\dfrac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})\varepsilon ^{h}u}{\varepsilon ^{h}u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}},\\S_{\text{и}}^{k}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}^{h}U_{\text{и}}=-{\dfrac {u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})\varepsilon ^{h}}{\varepsilon ^{h}+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}},\\{\text{гдѣ }}k,\;h=0,\;1,\;2,\;3,\;4.\end{array}}\right\}$

(58)

‎Соотвѣтствія между подстановками группы и четыреугольниками икосаэдрической сѣти указаны на [[../../Чертеж I/ДО|чертежѣ I]].

Изъ [[../../Чертеж I/ДО|чертежа I]] видно, что

$U=S_{\text{и}}^{2}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}^{3}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}^{2}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}.$

(59)

‎Кромѣ того мы замѣчаемъ, что подстановка $S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}$ соотвѣтствуетъ повороту сферы на уголъ ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, одинъ изъ полюсовъ которой проэктируется въ точку $c$. Слѣдовательно подстановка

$S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}$

‎—третьяго порядка:

$S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}=1.$

(60)

‎II. Возьмемъ икосаэдръ въ положеніи, указанномъ на черт. 22.

Сѣть, соотвѣтствующую такому положенію икосаэдра мы назовемъ второю нормальною икосаэдрическою сѣтью. Она изображена на [[../../Чертеж II/ДО|чертежѣ II]]^[1]. Ясно, что эта сѣть можетъ быть получена изъ первой преобразованіемъ посредствомъ подстановки $\sigma ^{-1}$, опредѣляемой формулою (18).

Подстановки второй нормальной икосаэдрической группы мы не вычисляемъ потому, что онѣ намъ нужны не будутъ.

---

1. Въ концѣ сочиненія.

Тот же текст в современной орфографии

$\left.{\begin{array}{l}S_{\text{и}}^{k}(u)=\varepsilon ^{k}u,\;S_{\text{и}}^{k}U_{\text{и}}(u)=-{\dfrac {\varepsilon ^{k}}{u}},\\S_{\text{и}}^{k}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}^{h}(u)=\varepsilon ^{k}{\dfrac {1+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})\varepsilon ^{h}u}{\varepsilon ^{h}u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})}},\\S_{\text{и}}^{k}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}^{h}U_{\text{и}}=-{\dfrac {u-(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})\varepsilon ^{h}}{\varepsilon ^{h}+(\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3})u}},\\{\text{где }}k,\;h=0,\;1,\;2,\;3,\;4.\end{array}}\right\}$

(58)

‎Соответствия между подстановками группы и четырехугольниками икосаэдрической сети указаны на чертеже I.

Из чертежа I видно, что

$U=S_{\text{и}}^{2}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}^{3}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}^{2}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}.$

(59)

‎Кроме того мы замечаем, что подстановка $S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}$ соответствует повороту сферы на угол ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, один из полюсов которой проектируется в точку $c$. Следовательно подстановка

$S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}$

‎— третьего порядка:

$S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}S_{\text{и}}{\mathfrak {T}}_{\text{и}}=1.$

(60)

‎II. Возьмем икосаэдр в положении, указанном на черт. 22.

Сеть, соответствующую такому положению икосаэдра, мы назовем второй нормальной икосаэдрической сетью. Она изображена на чертеже II^[1]. Ясно, что эта сеть может быть получена из первой преобразованием посредством подстановки $\sigma ^{-1}$, определяемой формулой (18).

Подстановки второй нормальной икосаэдрической группы мы не вычисляем, потому что они нам нужны не будут.

---

1. В конце сочинения.