Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/155

Эта страница не была вычитана

${\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}{\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}{\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}=1.$

(40)

‎Символическихъ соотношеній, подобныхъ (40), можно вывести довольно много, пользуясь чертежемъ 27, но они намъ въ дальнѣйшемъ не будутъ нужны.

Обратимъ вниманіе на то, что всѣ подстановки четверичной группы (26) входятъ въ составъ тетраэдрической группы (38):

$S_{\text{ч}}={\mathfrak {T}}_{\text{т}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{ч}}=U_{\text{т}}.$

(41)

‎Чтобы изъ четверичной группы получить тетраэдрическую, мы должны къ подстановкамъ четверичной группы присоединить ихъ комбинаціи съ тетраэдрическими подстановками:

S_{\text{т}},\ S_{\text{т}}^{2}.

‎Преобразуя^[1] четверичную группу посредствомъ подстановокъ $S_{\text{т}}$ и $S_{\text{т}}^{2}$ , мы снова получаемъ ту же четверичную группу. Слѣдовательно четверичная группа есть особая часть тетраэдрической.

Отношеніе порядковъ этихъ группъ (показатель сложности) равно 3.

Отсюда слѣдуетъ, что функція, инваріантная относительно подстановокъ четверичной группы, выражается раціонально черезъ функцію, инваріантную относительно подстановокъ тетраэдрической группы; а эта послѣдняя функція выражается черезъ первую при посредствѣ одного кубичнаго радикала. Эти формулы мы построимъ въ [[../../Глава VII/ДО|главѣ VII]] и онѣ дадутъ намъ возможность рѣшить въ радикалахъ тетраэдрическое уравненіе.

II. Построимъ теперь сѣть, соотвѣтствующую другому положенію тетраэдра въ сферѣ: помѣстимъ тетраэдръ въ сферѣ

↑ Если $S_{0},\ S_{1},\ \ldots \ S_{N-1}$ суть подстановки группы и $\sigma$ есть какая-нибудь подстановка, то мы назовемъ группу: $\sigma S_{0}\sigma ^{-1},\ \sigma S\sigma ^{-1},\ \ldots \ \sigma S_{N-1}\sigma ^{-1}$
преобразованною изъ первой посредствомъ подстановки $\sigma$ . Опредѣленія и свойства понятій: особая часть группы, уравненіе, имѣющее своею группою особую часть группы даннаго уравненія, и пр. излагаются въ курсахъ высшей алгебры. См., напр., Serret. Cours d’algèbre supérieure; или: Селивановъ. Теорія алгебраическаго рѣшенія уравненій.

Тот же текст в современной орфографии

${\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}{\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}{\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}=1.$

(40)

‎Символических соотношений, подобных (40), можно вывести довольно много, пользуясь чертежем 27, но они нам в дальнейшем не будут нужны.

Обратим внимание на то, что все подстановки четверичной группы (26) входят в состав тетраэдрической группы (38):

$S_{\text{ч}}={\mathfrak {T}}_{\text{т}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{ч}}=U_{\text{т}}.$

(41)

‎Чтобы из четверичной группы получить тетраэдрическую, мы должны к подстановкам четверичной группы присоединить их комбинации с тетраэдрическими подстановками:

S_{\text{т}},\ S_{\text{т}}^{2}.

‎Преобразуя^[1] четверичную группу посредством подстановок $S_{\text{т}}$ и $S_{\text{т}}^{2}$ , мы снова получаем ту же четверичную группу. Следовательно четверичная группа есть особая часть тетраэдрической.

Отношение порядков этих групп (показатель сложности) равно 3.

Отсюда следует, что функция, инвариантная относительно подстановок четверичной группы, выражается рационально через функцию, инвариантную относительно подстановок тетраэдрической группы; а эта последняя функция выражается через первую при посредстве одного кубического радикала. Эти формулы мы построим в главе VII, и они дадут нам возможность решить в радикалах тетраэдрическое уравнение.

II. Построим теперь сеть, соответствующую другому положению тетраэдра в сфере: поместим тетраэдр в сфере

↑ Если $S_{0},\ S_{1},\ \ldots ,\ S_{N-1}$ суть подстановки группы и $\sigma$ есть какая-нибудь подстановка, то мы назовем группу: $\sigma S_{0}\sigma ^{-1},\ \sigma S\sigma ^{-1},\ \ldots ,\ \sigma S_{N-1}\sigma ^{-1}$
преобразованной из первой посредством подстановки $\sigma$ . Определения и свойства понятий: особая часть группы, уравнение, имеющее своей группой особую часть группы данного уравнения, и пр. излагаются в курсах высшей алгебры. См., напр., Serret. Cours d’algèbre supérieure; или: Селиванов. Теория алгебраического решения уравнений.

[1] Если $S_{0},\ S_{1},\ \ldots \ S_{N-1}$ суть подстановки группы и $\sigma$ есть какая-нибудь подстановка, то мы назовемъ группу: $\sigma S_{0}\sigma ^{-1},\ \sigma S\sigma ^{-1},\ \ldots \ \sigma S_{N-1}\sigma ^{-1}$
преобразованною изъ первой посредствомъ подстановки $\sigma$ . Опредѣленія и свойства понятій: особая часть группы, уравненіе, имѣющее своею группою особую часть группы даннаго уравненія, и пр. излагаются въ курсахъ высшей алгебры. См., напр., Serret. Cours d’algèbre supérieure; или: Селивановъ. Теорія алгебраическаго рѣшенія уравненій.

[2] Если $S_{0},\ S_{1},\ \ldots ,\ S_{N-1}$ суть подстановки группы и $\sigma$ есть какая-нибудь подстановка, то мы назовем группу: $\sigma S_{0}\sigma ^{-1},\ \sigma S\sigma ^{-1},\ \ldots ,\ \sigma S_{N-1}\sigma ^{-1}$
преобразованной из первой посредством подстановки $\sigma$ . Определения и свойства понятий: особая часть группы, уравнение, имеющее своей группой особую часть группы данного уравнения, и пр. излагаются в курсах высшей алгебры. См., напр., Serret. Cours d’algèbre supérieure; или: Селиванов. Теория алгебраического решения уравнений.

[1]

[1]