Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/154

Подстановка $S_{\text{т}}$—третьяго порядка, ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$ и $U_{\text{т}}$—втораго порядка.

Всѣ 12 подстановокъ 1-ой нормальной тетраэдрической группы исчерпываются слѣдующими формулами:

$\left.{\begin{matrix}1\,.\,u=u,\ S_{\text{т}}(u)=i{\dfrac {1-u}{1+u}},\ S_{\text{т}}^{2}(u)={\dfrac {i-u}{i+u}},\\{\mathfrak {T}}_{\text{т}}(u)=-u,\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}(u)=-i{\dfrac {1-u}{1+u}},\\{\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}^{2}(u)=-{\dfrac {i-u}{i+u}},\\U_{\text{т}}(u)={\dfrac {1}{u}},\ U_{\text{т}}S_{\text{т}}(u)=-i{\dfrac {1+u}{1-u}},\\U_{\text{т}}S_{\text{т}}^{2}(u)={\dfrac {i+u}{i-u}},\\{\mathfrak {T}}_{\text{т}}U_{\text{т}}(u)=-{\dfrac {1}{u}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}U_{\text{т}}S_{\text{т}}(u)=i{\dfrac {1+u}{1-u}},\\{\mathfrak {T}}_{\text{т}}U_{\text{т}}S_{\text{т}}^{2}(u)=-{\dfrac {i+u}{i-u}}.\end{matrix}}\right\}$

(38)

‎Соотвѣтствіе между подстановками группы и четыреугольниками сѣти указано на черт. 27.

Изъ этого чертежа, между прочимъ, видно, что

$U_{\text{т}}(u)=S_{\text{т}}^{2}{\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}},$

(39)

‎въ чемъ также очень легко убѣдиться повѣркой при помощи формулъ (38).

Изъ чертежа 27 видно, что подстановка ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}$ есть эллиптическая подстановка, соотвѣтствующая повороту сферы на уголъ ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, одинъ изъ полюсовъ которой проэктируется въ точку $a$.

Слѣдовательно это подстановка 3-го порядка:

Тот же текст в современной орфографии

Подстановка $S_{\text{т}}$ — третьего порядка, ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}$ и $U_{\text{т}}$ — второго порядка.

Все 12 подстановок 1-ой нормальной тетраэдрической группы исчерпываются следующими формулами:

$\left.{\begin{matrix}1\,.\,u=u,\ S_{\text{т}}(u)=i{\dfrac {1-u}{1+u}},\ S_{\text{т}}^{2}(u)={\dfrac {i-u}{i+u}},\\{\mathfrak {T}}_{\text{т}}(u)=-u,\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}(u)=-i{\dfrac {1-u}{1+u}},\\{\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}^{2}(u)=-{\dfrac {i-u}{i+u}},\\U_{\text{т}}(u)={\dfrac {1}{u}},\ U_{\text{т}}S_{\text{т}}(u)=-i{\dfrac {1+u}{1-u}},\\U_{\text{т}}S_{\text{т}}^{2}(u)={\dfrac {i+u}{i-u}},\\{\mathfrak {T}}_{\text{т}}U_{\text{т}}(u)=-{\dfrac {1}{u}},\ {\mathfrak {T}}_{\text{т}}U_{\text{т}}S_{\text{т}}(u)=i{\dfrac {1+u}{1-u}},\\{\mathfrak {T}}_{\text{т}}U_{\text{т}}S_{\text{т}}^{2}(u)=-{\dfrac {i+u}{i-u}}.\end{matrix}}\right\}$

(38)

‎Соответствие между подстановками группы и четырехугольниками сети указано на черт. 27.

Из этого чертежа, между прочим, видно, что

$U_{\text{т}}(u)=S_{\text{т}}^{2}{\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}},$

(39)

‎в чем также очень легко убедиться поверкой при помощи формул (38).

Из чертежа 27 видно, что подстановка ${\mathfrak {T}}_{\text{т}}S_{\text{т}}$ есть эллиптическая подстановка, соответствующая повороту сферы на угол ${\frac {2\pi }{3}}$ около оси, один из полюсов которой проектируется в точку $a$.

Следовательно это подстановка 3-го порядка: