Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/152

‎Изъ формулъ (27) слѣдуетъ, что:

$u'=-u.$

(28)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$, преобразующая сторону $0a$ въ $0b$, такова:

${\mathfrak {T}}(u)=-u.$

(29)

‎Возьмемъ пару соотвѣтственныхъ точекъ $u$ и $u'$ на сторонахъ $ca$ и $cb$.

Не трудно видѣть, что:

$u=-1+{\sqrt {2}}e^{\psi i},\ u'=-i+{\sqrt {2}}e^{\left({\frac {\pi }{2}}-\psi \right)i},$

(30)

‎гдѣ $\psi$ перемѣнная величина.

Изъ формулъ (30) слѣдуетъ:

$(u+1)(u'+i)=2i,$

‎откуда:

$u'=i{\frac {1-u}{1+u}}.$

(31)

‎Подстановка $S$, преобразующая сторону $ca$ въ сопряженную съ нею $cb$, такова:

$S(u)=i{\frac {1-u}{1+u}}.$

(32)

‎Подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ суть основныя подстановки первой нормальной тетраэдрической группы.

Укажемъ на одну простую неосновную подстановку этой группы: вычислимъ коэффиціенты подстановки, преобразующей треугольникъ $0ac$ въ треугольникъ $\infty df$.

Соотвѣтственныя вершины этихъ треугольниковъ суть: 0 и $\infty$, $a$ и $d$, $c$ и $f$.

Подстановка, преобразующая точки $0,\ a,\ c$ соотвѣтственно въ $\infty ,\ d,\ f$, и есть искомая подстановка—этими условіями она опредѣлена вполнѣ.

Тот же текст в современной орфографии

‎Из формул (27) следует, что:

$u'=-u.$

(28)

‎Подстановка ${\mathfrak {T}}$, преобразующая сторону $0a$ в $0b$, такова:

${\mathfrak {T}}(u)=-u.$

(29)

‎Возьмем пару соответственных точек $u$ и $u'$ на сторонах $ca$ и $cb$.

Не трудно видеть, что:

$u=-1+{\sqrt {2}}e^{\psi i},\ u'=-i+{\sqrt {2}}e^{\left({\frac {\pi }{2}}-\psi \right)i},$

(30)

‎где $\psi$ — переменная величина.

Из формул (30) следует:

$(u+1)(u'+i)=2i,$

‎откуда:

$u'=i{\frac {1-u}{1+u}}.$

(31)

‎Подстановка $S$, преобразующая сторону $ca$ в сопряженную с ней $cb$, такова:

$S(u)=i{\frac {1-u}{1+u}}.$

(32)

‎Подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ суть основные подстановки первой нормальной тетраэдрической группы.

Укажем на одну простую неосновную подстановку этой группы: вычислим коэффициенты подстановки, преобразующей треугольник $0ac$ в треугольник $\infty df$.

Соответственные вершины этих треугольников суть: 0 и $\infty$, $a$ и $d$, $c$ и $f$.

Подстановка, преобразующая точки $0,\ a,\ c$ соответственно в $\infty ,\ d,\ f$, и есть искомая подстановка — этими условиями она определена вполне.