Примемъ одинъ изъ четыреугольниковъ сѣти за основной четыреугольникъ. Діагональною дугою окружности онъ дѣлится на два треугольника, изъ которыхъ одинъ бѣлый, а другой черный. Стороны четыреугольника, симметричныя относительно этой діагонали, суть сопряженныя. Найдемъ линейныя подстановки и преобразующія двѣ стороны четыреугольника въ двѣ другія стороны, сопряженныя съ ними.
Эти подстановки и суть основныя подстановки группы.
Имѣя основныя подстановки, мы можемъ указаннымъ выше способомъ найти подстановку, соотвѣтствующую каждому четыреугольнику сѣти. При этомъ особенности данной сѣти могутъ значительно облегчить вычисленія.
Такъ, напримѣръ, вычисленія значительно упростятся, если намъ удастся найти эллиптическую подстановку и извѣстенъ уголъ соотвѣтствующаго ей поворота сферы.
Во всѣхъ случаяхъ, съ которыми намъ придется встрѣтиться, всѣ подстановки будутъ эллиптическія и вычисленія совершаются очень легко. Поэтому мы не будемъ останавливаться на этихъ вычисленіяхъ и только на чертежахъ будемъ отмѣчать подстановки, соотвѣтствующія каждому четыреугольнику.
§ 14. Геометрическія представленія для группъ конечныхъ порядковъ.
Вообразимъ вписанный въ сферу одинъ изъ многогранниковъ, указанныхъ въ [[../../Глава III/ДО#§12|§ 12]], соотвѣтствующую ему сѣть на сферѣ и ея стереографическую проэкцію на плоскость.
Такъ какъ всѣ подстановки группы, соотвѣтствующей этой сѣти,—конечнаго порядка, то всѣ онѣ эллиптическія. Онѣ соотвѣтствуютъ такимъ поворотамъ сферы около центра, которые приводятъ сѣть на сферѣ и вписанный многогранникъ въ ихъ прежнее положеніе. Ясно, что эти повороты могутъ происходить около осей, проходящихъ или 1) черезъ вершину многогранника, или 2) черезъ центръ его грани, или 3) черезъ средину ребра. Въ первомъ случаѣ поворотъ совершается на уголъ , гдѣ число граней многогран-
Примем один из четырехугольников сети за основной четырехугольник. Диагональной дугой окружности он делится на два треугольника, из которых один белый, а другой — черный. Стороны четырехугольника, симметричные относительно этой диагонали, суть сопряженные. Найдем линейные подстановки и , преобразующие две стороны четырехугольника в две другие стороны, сопряженные с ними.
Эти подстановки и суть основные подстановки группы.
Имея основные подстановки, мы можем указанным выше способом найти подстановку, соответствующую каждому четырехугольнику сети. При этом особенности данной сети могут значительно облегчить вычисления.
Так, например, вычисления значительно упростятся, если нам удастся найти эллиптическую подстановку и известен угол соответствующего ей поворота сферы.
Во всех случаях, с которыми нам придется встретиться, все подстановки будут эллиптические и вычисления совершаются очень легко. Поэтому мы не будем останавливаться на этих вычислениях и только на чертежах будем отмечать подстановки, соответствующие каждому четырехугольнику.
§ 14. Геометрические представления для групп конечных порядков.
Вообразим вписанный в сферу один из многогранников, указанных в § 12, соответствующую ему сеть на сфере и ее стереографическую проекцию на плоскость.
Так как все подстановки группы, соответствующей этой сети, — конечного порядка, то все они эллиптические. Они соответствуют таким поворотам сферы около центра, которые приводят сеть на сфере и вписанный многогранник в их прежнее положение. Ясно, что эти повороты могут происходить около осей, проходящих или 1) через вершину многогранника, или 2) через центр его грани, или 3) через середину ребра. В первом случае поворот совершается на угол , где число граней многогран-
