53. Мы сказали выше (n° 30), что инволюціонное соотношеніе можетъ встрѣчаться при многихъ изслѣдованіяхъ, гдѣ оно до сихъ поръ не было можетъ быть замѣчено. Мы закончимъ это Примѣчаніе указаніемъ на нѣкоторые случаи, въ которыхъ это соотношеніе имѣетъ мѣсто.
1° Три пары cопряженныхъ діаметровъ коническаго сѣченія составляютъ пучекъ въ инволюціи.
2° Когда три хорды коническаго сѣченія проходятъ черезъ одну точку, то прямыя, проведенныя изъ какой нибудь точки кривой къ концамъ этихъ хордъ, находятся въ инволюціи.
3° Когда три угла, описанные около коническаго сѣченія, имѣютъ вершины на одной прямой, то стороны ихъ пересѣкаются съ какою угодно касательною коническаю сѣченія въ шести точкахъ въ инволюціи.
4° Положимъ, что четыре хорды коническаго сѣченія проходятъ черезъ одну точку; если черезъ концы первыхъ двухъ хордъ проведемъ произвольное коническое сѣченіе и черезъ концы двухъ другихъ — другое произвольное коническое сѣченіе, то четыре точки пересѣченія этихъ новыхъ коническихъ сѣченій будутъ лежать попарно на двухъ прямыхъ, проходящихъ черезъ точку пересѣченія четырехъ хордъ, и эти двѣ прямыя вмѣстѣ съ четырьмя хордами составляютъ пучекъ въ инволюціи.[1]
Если двѣ первыя хорды совпадаютъ и двѣ другія — также, то инволюціонное соотношеніе обращается въ гармоническое отношеніе и мы получаемъ такую теорему:
Когда два коническія сѣченія имѣютъ двойное прикосновеніе съ третьимъ, то они пересѣкаются между собою въ четырехъ точкахъ, расположенныхъ попарно на двухъ прямыхъ, проходящихъ черезъ точку встрѣчи двухъ хордъ прикосновенія; эти двѣ прямыя суть гармонически сопряженныя относительно двухъ хордъ прикосновенія.
- ↑ Первую часть этой теоремы я доказалъ въ Correspondance polytechnique (T. III, p. 339).
