Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/78

въ которомъ $A$ разсматривается какъ перемѣнная точка, будетъ maximum, или mimimum, когда произведеніе $BA.BA'$ minimum, или maximum. Но уравненіе (H) даетъ

$BA.BA'=BE^{2}-2\alpha E.BO$.

Слѣдовательно произведеніе $BA.BA'$ будетъ maximum (или minimum, смотря по знаку), когда перемѣнный коэффиціентъ $\alpha E$ будетъ равенъ нулю. Тогда двѣ точки $A,\,A'$ сливаются въ одной точкѣ $E$; это и составляетъ предложеніе Аполлонія.

51. Инволюцію шести точекъ можно выразить уравненіемъ, въ которое войдутъ двѣ точки, взятыя, какъ та, такъ и другая, совершенно произвольно.

Пусть $m$ и $n$ будутъ двѣ такія точки; означимъ черезъ $\alpha$ точку гармонически сопряженную съ $n$ относительно $A$ и $A'$, черезъ $\beta$ — гармонически сопряженную съ $n$ относительно $B$ и $B'$ и черезъ $\gamma$ — гармонически сопряженную съ $n$ относительно $C$ и $C'$. Каковы бы ни были точки $m$ и $n$, взятыя на прямой, на которой расположены точки инволюціи, мы будемъ имѣть соотношеніе:

${\frac {mA.mA'}{nA.nA'}}.\beta \gamma .n\alpha -{\frac {mB.mB'}{nB.nB'}}.\alpha \gamma .n\beta +{\frac {mC.mC'}{nC.nC'}}.\alpha \beta .n\gamma =0$

(I.)

Если положимъ, что точка $n$ удалена въ безконечность, то уравненіе обратится въ формулу (F). Этого замѣчанія достаточно, чтобы видѣть справедливость нашего уравненія.

52. Если помѣстимъ $m$ въ центральной точкѣ, то будемъ имѣть $mA.mA'=mB.mB'=mC.mC'$ и соотношеніе (I) приметъ видъ:

${\frac {\beta \gamma .n\alpha }{nA.nA'}}-{\frac {\alpha \gamma .n\beta }{nB.nB'}}+{\frac {\alpha \beta .n\gamma }{nC.nC'}}=0$.

(J.)

Это уравненіе отличается по формѣ отъ уравненія (F) и, подобно ему, выражаетъ инволюцію шести точекъ при помощи седьмой, произвольно взятой точки.