Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/77

$mA.mA'-mB.mB'.{\frac {\alpha \gamma }{\beta \gamma }}+mC.\alpha \beta .{\frac {mC'}{\beta \gamma }}=0$.

Точка $\gamma$ находится также въ безконечности и мы имѣемъ:

${\frac {\alpha \gamma }{\beta \gamma }}=1$;

$\beta \gamma ={\frac {\beta C+\beta C'}{2}}$;

${\frac {mC'}{\beta \gamma }}=2.{\frac {mC'}{\beta C+\beta C'}}={\frac {2}{{\frac {\beta C}{mC'}}+{\frac {\beta C'}{mC'}}}}$,

но

${\frac {\beta C}{mC'}}=0$; ${\frac {\beta C'}{mC'}}=1$,

слѣдовательно

${\frac {mC'}{\beta \gamma }}=2$;

уравненіе обращается въ

$mA.mA'-mB.mB'+2\alpha \beta .mO=0$.

Замѣняя $\alpha \beta$ чрезъ

${\frac {AB+A'B'}{2}}$,

получимъ уравненіе Паппа.

48. Если положимъ, что двѣ точки $B,\,B'$ сливаются въ одну изъ двойныхъ точекъ инволюціи $E$, то это уравненіе обратится въ

$mA.mA'-mE^{2}+2\alpha E.mO=0$.

(H.)

49. Если двѣ точки $A,\,A'$ сольются въ другой двойной точкѣ $F$ получимъ:

$mF^{2}-mE^{2}+2.EF.mO=0$.

Это уравненіе выражаетъ соотношеніе между какою нибудь точкою $m$, точками $E,\,F$ и срединою двухъ послѣднихъ.

50. Первое изъ уравненій (D) и уравненіе (H) ведутъ къ доказательству того случая maximum, или minimum, который былъ доказанъ Аполлоніемъ и о которомъ мы уже говорили (n° 17). Дѣйствительно, первое изъ этихъ уравненій показываетъ, что отношеніе

${\frac {AC.AC'}{AB.AB'}}$