Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/76

45. Полагая, что точка $m$ помѣщена въ $B$ найдемъ:

${\frac {BC.BC'}{BA.BA.}}=-{\frac {\beta \gamma }{\beta \alpha }}=-{\frac {BC+B'C'}{BA+B'A'}}$.

Складывая почленно это уравненіе съ предыдущимъ и замѣчая, что $\alpha \gamma -\beta \gamma =\alpha \beta$, получимъ первое изъ восьми уравненій (D).

46. Уравненіе (E) также легко выводится изъ уравненія (F).

Въ самомъ дѣлѣ, между тремя точками $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ и какою нибудь четвертою точкою $m$ существуетъ слѣдующее соотношеніе, данное Стевартомъ:

$m\alpha ^{2}.\beta \gamma -m\beta ^{2}.\alpha \gamma +m\gamma ^{2}.\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha$.^[1]

Вычитая отсюда уравненіе (F), получимъ:

$(m\alpha ^{2}-mA.mA')\beta \gamma -(m\beta ^{2}-mB.mB')\alpha \gamma +(m\gamma ^{2}-mC.mC')\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha$.

Но

$m\alpha ^{2}-\alpha A^{2}=(m\alpha +\alpha A)(m\alpha -\alpha A)=mA.mA'$;

откуда

$m\alpha ^{2}-mA.mA'=\alpha A^{2}$.

Точно также

$m\beta ^{2}-mB.mB'=\beta B^{2}$ и $m\gamma ^{2}-mC.mC'=\gamma C^{2}$.

Поэтому предыдущее уравненіе обращается въ

$\alpha A^{2}.\beta \gamma -\beta B^{2}.\alpha \gamma +\gamma C^{2}.\alpha \beta =\alpha \beta .\beta \gamma .\gamma \alpha$,

что и требовалось доказать.

47. Изъ уравненія (F) выводится также свойство центральной точки, которое было извѣстно Паппу (n° 18). Для этого положимъ, что точка $C'$ удалена въ безконечность, вслѣдствіе чего точка $C$ обращается въ центральную точку $O$, и напишемъ уравненіе (F) въ такомъ видѣ:

1. Это вторая изъ Some general theorems, etc. (См. четвертую эпоху n° 28).