Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/68

или

${\frac {CA.CA'}{CB.CB'}}={\frac {C'A.C'A'}{C'B.C'B'}}$,

$CA.A'B'.BC'=C'A'.AB.B'C$

$CB.B'A'.BC'=C'B'.AB.A'C$

Каждое изъ этихъ трехъ уравненій заключаетъ въ себѣ два остальныя, потому что каждое выражаетъ, что четыре точки $A,\,B,\,C,\,C'$ имѣютъ тоже ангармоническое отношеніе, какъ и четыре имъ соотвѣтствующія точки $A',\,B',\,C',\,C$.

Такимъ образомь наше опредѣленіе инволюціи шести точекъ даетъ три уравненія, изъ которыхъ каждое заключаетъ въ себѣ два другія и достаточно для выраженія инволюціи.

33. Легко видѣть, что каждое изъ этихъ трехъ уравненій ведетъ еще къ четыремъ другимъ, которыя вмѣстѣ съ тремя первыми составляютъ уравненія (A) и (B).

Дѣйствительно, одно изъ уравненій, напримѣръ

$CA.A'B'.BC'=C'A'.AB.B'C$,

можно написать троякимъ образомъ въ видѣ равенства ангармоническихъ отношеній; первый способъ даетъ второе уравненіе изъ первой группы вышеприведенныхъ уравненій; два другіе приведутъ къ уравненіямъ:

${\frac {CA}{CB'}}:{\frac {BA}{BB'}}={\frac {C'A'}{C'B}}:{\frac {B'A'}{B'B}}$,

${\frac {CA}{CB'}}:{\frac {A'A}{A'B}}={\frac {C'A'}{C'B}}:{\frac {AA'}{AB}}$.

Первое изъ этихъ уравненій показываетъ, что четыре точки $A,\,B,\,C,\,B'$ имѣютъ такое же ангармоническое отношеніе, какъ и четыре имъ соотвѣтствующія точки $A',\,B',\,C',\,B$ поэтому мы имѣемъ еще два уравненія: