Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/67

Вторая часть.

31. Свойства инволюціи шести точекъ, изложенныя въ первой части этого Примѣчанія, составляютъ, кажется, все, что до сихъ поръ было извѣстно; я не знаю даже, было ли опредѣлительно высказано существованіе центральной точки и важность ея роли въ этой теоріи.

Но инволюція шести точекъ обладаетъ многими другими свойствами и можетъ, кромѣ уравненій (A) и (B), выражаться въ различныхъ другихъ формахъ, которыя могутъ оказаться полезными при геометрическихъ изслѣдованіяхъ.

Самое важное свойство инволюціоннаго соотношенія, служащее по нашему мнѣнію источникомъ всѣхъ другихъ свойствъ, основывается на понятіи объ ангармоническомъ отношеніи. Это основное свойство позволяетъ дать новое опредѣленіе инволюціи шести точекъ, опредѣленіе, которое заключаетъ въ себѣ въ одно время оба рода уравненій (A) и (B) и естественнымъ образомъ ведетъ къ различнымъ другимъ выраженіямъ инволюціи шести точекъ.

32. Мы скажемъ, что

Шесть точекъ, попарно сопряженныхъ, находятся въ инволюціи, когда ангармоническое отношеніе четырехъ изъ нихъ равно ангармоническому отношенію имъ сопряженныхъ точекъ.

Такъ, шесть точекъ $A,\,B,\,C,\,A',\,B',\,C'$, изъ которыхъ три $A',\,B',\,C'$ сопряжены тремъ первымъ, будутъ въ инволюціи, когда ангармоническое отношеніе четырехъ $A,\,B,\,C$ и $C'$ равно ангармоническому отношенію ихъ сопряженныхъ $A',\,B',\,C'$ и $C$; т. е. когда имѣемъ одно изъ трехъ уравненій:

${\frac {CA}{CB}}:{\frac {C'A}{C'B}}={\frac {C'A'}{C'B'}}:{\frac {CA'}{CB'}}$,

${\frac {CA}{CC'}}:{\frac {BA}{BC'}}={\frac {C'A'}{C'C}}:{\frac {B'A}{B'C}}$,

${\frac {CB}{CC'}}:{\frac {AB}{AC'}}={\frac {C'B'}{C'C}}:{\frac {A'B'}{A'C}}$