Эти двѣ теоремы представляютъ, какъ мы видимъ, обобщеніе теоремы Дезарга, которая вытекаетъ изъ нихъ, какъ слѣдствіе. Онѣ были въ первый разъ доказаны аналитически Штурмомъ.[1]
25. Послѣдняя теорема можетъ служить для доказательства многихъ свойствъ, названныхъ нами ариѳметическими свойствами инволюціи шести точекъ. Для этого, кромѣ трехъ первыхъ коническихъ сѣченій, можно разсматривать еще различпыя другія коническія сѣченія, проходящія черезъ тѣ же четыре точки; каждое изъ нихъ будетъ опредѣляться пятымъ условіемъ. Если проведемъ коническое сѣченіе, которое при этомъ касается сѣкущей, то найдемъ двойныя точки; коническое сѣченіе, имѣющее асимптоту, параллельную сѣкущей, укажетъ центральную точку и т. п.
26. Весьма важное свойство инволюціи шести точекъ состоитъ въ томъ, что, если изъ произвольной точки проведемъ прямыя къ этимъ шести точкамъ, то тѣ же инволюціонныя соотношенія (A) и (B), которыя имѣютъ мѣсто для отрѣзковъ между точками, будутъ существовать между синусами угловъ, образуемыхъ шестью линіями, наключающими эти отрѣзки.
Обыкновенно доказываютъ это свойство, выражая отрѣзки въ функціи синусовъ соотвѣтственныхъ угловъ. Но теорія ангармоническаго отношенія четырехъ точекъ доставляетъ болѣе простое доказательство. Для этого достаточно замѣтить, что каждое изъ инволюціонныхъ соотношеній (A) и (B) представляетъ равенства ангармоническихъ отношеній (какъ мы это покажемъ во второй части этого Примѣчанія). Но эти отношенія сохраняютъ свою величину, когда въ нихъ вмѣсто отрѣзковъ подставляются синусы соотвѣственныхъ угловъ; слѣдовательно инволюціонныя отношенія существуютъ также между синусами угловъ, образуемыхъ шестью прямыми.
Обратно, если подобное соотношеніе существуетъ между синусами угловъ, образуемыхъ шестью прямыми, выходящими изъ одной точки, то всякая сѣкущая пересѣчется съ этими шестью прямыми въ шести точкахъ въ инволюціи.
- ↑ Annales de Mathématiques, t. XVII, p. 180.
