Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/62

Во второмъ случаѣ точка $O$ будетъ, очевидно, лежать на общей части отрѣзковъ $AA',\,BB'$; точки $A,\,A'$ будутъ на разныхъ сторонахъ отъ $O$ и слѣдовательно точки $E,\,F$ будутъ мнимыя.^[1]

17. Двѣ точки $E,\,F$ обладаютъ другимъ характеристическимъ свойствомъ, которое было доказано Аполлоніемъ въ его сочиненіи de section determinata, какъ это видно изъ предложеній 61, 62 и 64 седьмой книги Математическаго Собранія Паппа; свойство это состоитъ въ томъ, что отношеніе

${\frac {EA.EA'}{EB.EB'}}$ или ${\frac {FA.FA'}{FB.FB'}}$

есть maximum, или minimum. Это значитъ, что если возьмемъ какую-нибудь другую точку $m$, то отношеніе

${\frac {mA.mA'}{mB.mB'}}$

достигаетъ maximum, или minimum, когда точка $m$ сливается съ одною изъ точекъ $E,\,F$, гармонически сопряженныхъ какъ относительно $A,\,A'$, такъ и относительно $B,\,B'$.

18. Двѣ пары точекъ $A,\,A'$ и $B,\,B'$ и ихъ центральная точка $O$ имѣютъ еще слѣдующее свойство, которое доказано у Паппа (предложенія 45, 46, ... и 56 седьмой книги Математическаго Cобранія):

Если на прямой $AB$, или на ея продолженіи, возьмемъ какую-нибудь точку $m$, то всегда будемъ имѣть соотношеніе

$mA.mA'-mB.mB'=(AB+A'B').mO$.

1. Понселе для такого же изслѣдованія точекъ $E,\,F$ употребилъ другой способъ, воспользовавшись геометрическимъ построеніемъ, служащимъ для предѣленія этихъ точек (Traité des Propriétés projectives, p. 201).