и , дополняющихъ инволюцію; по этому двѣ послѣднія точки никогда не могутъ совпадать. Такимъ образомъ въ этомъ случаѣ не существуетъ двойныхъ точекъ; анализъ далъ бы для построенія ихъ мнимое выраженіе.
15. Пусть и будутъ шесть точекъ въ инволюціи и положимъ, что двѣ первыя точки находятся по одну сторону центральной точки ; можно найти двѣ точки и , лежащія по ту и другую сторону отъ точки , для которыхъ
- .
Это двойное равенство показываетъ, что точки суть гармонически сопряженныя относительно двухъ точекъ . Но мы имѣемъ въ то же время
- ;
поэтому точки также гармонически сопряженныя относительно , и такимъ же образомъ слѣдовательно относительно . Отсюда проистекаетъ слѣдующее, уже извѣстное, свойство инволюціи шести точекъ: существуютъ двѣ точки гармонически сопряженныя относительно двухъ точекъ каждой изъ трехъ паръ, составляющихъ инволюцію. Эти двѣ точки лежатъ по ту и по другую сторону отъ центральной точки и на одинаковомъ разстояніи отъ нея. Онѣ могутъ впрочемъ быть мнимыми.
16. Не трудно видѣть, что если точки лежатъ обѣ внутри отрѣзка , или обѣ внѣ этого отрѣзка, то двойныя точки будутъ дѣйствительныя.
Наоборотъ, если одна изъ точекъ будетъ лежать на отрѣзкѣ , а другая на его продолженіи, то двойныя точки будутъ мнимыя.
Въ самомъ дѣлѣ, въ первомъ случаѣ точка , которая всегда дѣйствительна, очевидно, будетъ лежать внѣ отрѣзковъ , иначе уравненіе не могло бы имѣть мѣста; поэтому точки будутъ находиться по одну сторону отъ и слѣдовательно двѣ точки будутъ дѣйствительныя.
