Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/60

Прибавленіе

12 bis. Изъ теоремы n° 12 слѣдуетъ, что, если три пары точекъ $A,\,A',\,B,\,B'$ и $C,\,C'$ гарманически сопряжены относительно двухъ постоянныхъ точекъ $E,\,F$, то шесть точекъ $A,\,A',\,B,\,B',\,C,\,C'$ находятся въ инволюціи.

Дѣйствительно, пусть $O$ будетъ средина отрѣзка $EF$, тогда

$OA.OA'=OE^{2}$, $OB.OB'=OE^{2}$, $OC.OC'=OE^{2}$.

Слѣдовательно шесть точекъ $A,\,A',\,B,\,B',\,C,\,C'$ составляютъ инволюцію (n° 12).

13. Предыдущая теорема еще не обратила, кажется, достаточнаго вниманія тѣхъ, кто писалъ объ этомъ предметѣ; но по моему мнѣнію, она выражаетъ самое простое свойство инволюціи шести точекъ; въ большинствѣ геометрическихъ изысканій инволюція обнаруживается посредствомъ этого именно свойства.

Точку $O$, разсматривашую относительно шести точекъ въ инволюціи, мы будемъ называть центральною точкою инволюціи.

14. Центральная точка естественнымъ образомъ ведетъ къ двойнымъ точкамъ, о которыхъ мы уже говорили, и показываетъ, что эти точки могутъ быть мнимыми.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть $A,\,A',\,B,\,B'$ будутъ четыре первыя точки инволюціи. Ихъ достаточно для опредѣленія центральной точки $O$. Если двѣ точки $A,\,A'$ лежатъ по одну сторону точки $O$, то также будутъ лежать точки $B,\,B'$ и двѣ другія точки $C,\,C'$, дополняющія инволюцію. Поэтому можно предположить, что двѣ послѣднія точки сливаются въ одну, которую мы означимъ черезъ $E$; для опредѣленія этой точки получаемъ уравненіе

$OA.OA'=OB.OB'=OE^{2}$.

Точка $E$ можетъ быть взята и съ той и съ другой стороны относительно $O$ и слѣдовательно подобныхъ точекъ будетъ двѣ.

Итакъ, если даны четыре первыя точки $A,\,A'$ и $B,\,B'$, то инволюція двоякимъ образомъ можетъ быть пополнена пятою точкою, которая разсматривается какъ двойная.

Но если предположимъ, что двѣ первыя точки $A,\,A'$ лежатъ по разныя стороны точки $O$, то будетъ то же самое для точекъ $B,\,B'$