Если предположимъ, что двѣ точки
сливаются въ одну, которую означимъ черезъ
, то уравненія (A) и (B) обратятся въ слѣдующія четыре:
,
,
,
.
Каждое изъ этихъ четырехъ уравненій заключаетъ въ себѣ три остальныя.
Дезаргъ, который изслѣдовалъ этотъ случай, назвалъ его инволюціею пяти точекъ.
Мы будемъ называть точку
— двойною точкою.
11. Предположимъ тепѣрь, что точка
удалена въ безконечность и сопряженную ей точку означимъ, вмѣсто
, черезъ
: уравненія (A) и (B) обратятся въ слѣдующія:
![{\displaystyle OA.OA'=OB.OB'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b81efbfc002fb58caaf349a07a7100427b62785)
![{\displaystyle {\frac {BA.BA'}{B'A.B'A'}}={\frac {BO}{B'O}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf0c74eb5a34d1cce65742116e6ad3292aeb5ec)
![{\displaystyle {\frac {AB.AB'}{A'B.A'B'}}={\frac {AO}{A'O}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64e2f94d6cb5a874502546398dc9126c091f634)
![{\displaystyle {\frac {AB'}{A'B}}={\frac {OB'}{OA'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5159d55deb99f396fdbda5adce8f96f1af457d)
![{\displaystyle {\frac {AB'}{A'B}}={\frac {OA}{OB}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e38b9641ad903c04b3743a2a954fe00907f458)
![{\displaystyle {\frac {AB}{A'B}}={\frac {OB}{OA'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be295e3a4428a2eeaa4da272a6526ca31e4ae83e)
![{\displaystyle {\frac {AB}{AB'}}={\frac {OA}{OB'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602d1fe2306d0bb16fc45c163930eeeea4706bcc)