Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/57

Эта страница была вычитана

Это показываетъ, что шесть точекъ и находятся въ инволюціи.

Отсюда проистекаетъ слѣдующее общее свойство инволюціи шести точекъ:

Если на прямой линіи имѣемъ нѣсколько паръ точекъ, изъ которыхъ двѣ первыя пары составляютъ инволюцію съ каждою изъ остальныхъ, то какія угодно три пары также составляютъ инволюцію.

Эта теорема ведетъ ко многимъ слѣдствіямъ, весьма важнымъ для теоріи инволюціи.

9. Вотъ, напримѣръ, одно изъ слѣдствій, ведущихъ къ полезнымъ приложеніямъ.

Если на прямой линіи имѣемъ четыре пары точекъ, изъ которыхъ каждыя три пары образуютъ инволюцію, то ангармоническое отношеніе четырехъ точекъ, принадлежищихъ четыремъ парамъ, равно ангармоническому отношенію четырехъ остальныхъ точекъ.

Это значитъ, что для четырехъ паръ и , и , и , и будемъ имѣть

.

Дѣйствительно, три первыя пары образуютъ, какъ сказано, инволюцію, а потому (уравненія B):

;

точно также, вслѣдствіе инволюціи трехъ паръ и , и , и будемъ имѣть:

.

Дѣля почленно эти уравненія, получимъ то, которое доказываемъ.

10. Изслѣдуемъ нѣкоторые частные случаи инволюціи шести точекъ.