Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/55

Свойства ариѳметическія.

4. Предыдущее уравненіе приводитъ къ двумъ слѣдующішъ:

${\frac {BA.BA'}{BC.BC'}}={\frac {B'A.B'A'}{B'C.B'C'}}$, ${\frac {AB.AB'}{AC.AC'}}={\frac {A'B.A'B'}{A'C.A'C'}}$.

(A.)

Такимъ образомъ каждое изъ трехъ уравненій (A) заключаетъ въ себѣ два другія.

5. Свойство шести точекъ быть въ инволюціи можетъ быть выражено уравненіемъ, содержащимъ только шесть изъ образуемыхъ имъ отрѣзковъ, именно:

$AB'.BC'.CA'=AC'.CB'.BA'$, или $AB'.BC.C'A'=AC.C'B'.BA'$, или $AB.B'C'.CA'=AC'.CB.B'A'$, или $AB.B'C.C'A'=AC.C'B.B'A'$,

(B.)

Такимъ образомъ каждое изъ уравненій (B) выражаетъ инволюію шести точекъ и ведетъ за собою три другія.

6. Уравненія (B) легко выводятся изъ уравненій (A) посредствомъ перемноженія; и обратно, посдѣднія также легко выводятся изъ уравреній (B). Но такъ какъ каждое изъ этихъ семи уравненій само по себѣ выражаетъ инволюцію, то необходимо, также, чтобы изъ каждаго уравненія могли быть выведены остальныя уравненія той же группы, т. е. изъ одного уравненія (A) два другія и изъ одного уравненія (B) — три остальныя. И дѣйствительно, этого можно достигнуть вычисленіемъ, замѣняя надлежащимъ образомъ