Въ послѣднее время Кетле и Данделенъ, изслѣдуя коническія сѣченія на тѣлѣ, получили прекрасные новые результаты; изъ нихъ слѣдующій представляетъ, кажется, еще первое построеніе фокусовъ коническаго сѣченія на самомъ конусѣ:
Прямой конусъ пересѣченъ плоскостію; представимъ себѣ, что въ него вписаны два шара, касающіеся плоскости: точки прикосновенія и будутъ фокусы сѣченія конуса плоскостью; прямыя же по которымъ пересѣчется эта плоскость съ двумя плоскостями круговъ прикосновенія шаровъ и конуса, будутъ соотвѣтствующія этимъ фокусомъ директрисы.
Данделенъ распространилъ эту теорему на коническія сѣченія, разсматриваемыя, вмѣсто конуса, на гиперболоидѣ вращенія[1]. Мы обобщили ее еще болѣе, выведя, какъ слѣдствіе, изъ общаго свойства поверхностей втораго порядка.[2]
Другое слѣдствіе этого общаго свойства выражаетъ собою свойство фокусовъ, разсматриваемыхъ на косомъ конусѣ, именно:
Пусть косой конусъ пересѣченъ какою-нибудь плоскостью; впишемъ въ конусъ поверхность втораго порядка, касательную къ плоскости, такъ, чтобы точка прикосновенія была концомъ одного изъ двухъ діаметровъ, представляющихъ мѣсто центровъ круговыхъ сѣченій этой поверхности; тогда точка прикосновенія будетъ фокусомъ сѣченія конуса плоскостью.
Это весьма общая теорема; но понятно, что она не можетъ вести насъ къ опредѣленію фокусовъ коническаго сѣченія и не можетъ служить для изслѣдованія свойствъ этихъ точекъ. Теорема Кетле и Данделена, напротивъ того, особенно удобна для этой цѣли; но она относится только къ сѣченіямъ на прямомъ конусѣ.
Такимъ образомъ вопросъ о способѣ получать и изслѣдовать фокусы, пользуясь для этого свойствами косаго конуса, остается еще не рѣшеннымъ.
Мы предложили бы для этого два пріема.
Вопервыхъ: брать сѣкущую плоскость (предполагая ее перпендикулярною къ осевому треугольнику, какъ въ коническихъ сѣченіяхъ
- ↑ Mémoire sur l'hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon. Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III.
- ↑ Annales des mathématiques, t. XIX, p. 167.
В последнее время Кетле и Данделен, исследуя конические сечения на теле, получили прекрасные новые результаты; из них следующий представляет, кажется, еще первое построение фокусов конического сечения на самом конусе:
Прямой конус пересечен плоскостью; представим себе, что в него вписаны два шара, касающиеся плоскости: точки прикосновения и будут фокусы сечения конуса плоскостью; прямые же по которым пересечется эта плоскость с двумя плоскостями кругов прикосновения шаров и конуса, будут соответствующие этим фокусом директрисы.
Данделен распространил эту теорему на конические сечения, рассматриваемые, вместо конуса, на гиперболоиде вращения[1]. Мы обобщили ее еще более, выведя, как следствие, из общего свойства поверхностей второго порядка.[2]
Другое следствие этого общего свойства выражает собою свойство фокусов, рассматриваемых на косом конусе, именно:
Пусть косой конус пересечен какою-нибудь плоскостью; впишем в конус поверхность второго порядка, касательную к плоскости, так, чтобы точка прикосновения была концом одного из двух диаметров, представляющих место центров круговых сечений этой поверхности; тогда точка прикосновения будет фокусом сечения конуса плоскостью.
Это весьма общая теорема; но понятно, что она не может вести нас к определению фокусов конического сечение и не может служить для исследования свойств этих точек. Теорема Кетле и Данделена, напротив того, особенно удобна для этой цели; но она относится только к сечением на прямом конусе.
Таким образом вопрос о способе получать и исследовать фокусы, пользуясь для этого свойствами косого конуса, остается еще не решенным.
Мы предложили бы для этого два приема.
Во-первых: брать секущую плоскость (предполагая ее перпендикулярною к осевому треугольнику, как в конических сечениях
- ↑ Mémoire sur l'hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon. Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III. 1826.
- ↑ Annales des mathématiques, t. XIX, p. 167.
